《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【变式 2】新华商场销售每件进货价为 40 元的某种商品,市场调研表明:当销售价为 80 元时,平均每天能售出 20 件;在每件盈利不少于 25 元的前提下,经过一段时间销售,当销售价每降低 3 元时,平均每天就能多售出 6 件.
(1)若降价 2 元,则平均每天销售数量为24件;
(2)当每件商品定价多少元时,该商场平均每天销售某种商品的利润达到 1 200 元?
解:(2)设每件商品降价 $ x $ 元,则平均每天可销售 $ (20 + 2x) $ 件.
根据题意,得 $ (80 - 40 - x)(20 + 2x) = 1200 $,
整理,得 $ x^{2} - 30x + 200 = 0 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 20 $.
当 $ x = 20 $ 时, $ 40 - x = 20 ＜ 25 $,不符合题意,舍去.
∴ $ x = 10 $.
则 $ 80 - 10 = 70 $(元).
答:当每件商品定价 70 元时,该商场平均每天销售某种商品的利润达到 1200 元.

答案： 解:
(1)24
(2)设每件商品降价 $ x $ 元,则平均每天可销售 $ (20 + 2x) $ 件.
根据题意,得 $ (80 - 40 - x)(20 + 2x) = 1200 $,
整理,得 $ x^{2} - 30x + 200 = 0 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 20 $.
当 $ x = 20 $ 时, $ 40 - x = 20 ＜ 25 $,不符合题意,舍去.
∴ $ x = 10 $.
则 $ 80 - 10 = 70 $(元).
答:当每件商品定价 70 元时,该商场平均每天销售某种商品的利润达到 1200 元.

1. 某湿地风景区特色旅游项目:水上游艇,旅游人员消费后风景区可盈利 10 元/人,每天消费人员为 500 人,为增加盈利,准备提高票价,经调查发现,在其他条件不变的情况下,票价每涨 1 元,消费人员就减少 20 人,现该项目要保证每天盈利 6 000 元,同时又要旅游者得到实惠,那么票价应涨价多少元?

答案： 解:设票价上涨 $ x $ 元,则每天可售出 $ (500 - 20x) $ 张票.
根据题意,得 $ (10 + x)(500 - 20x) = 6000 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 5 $.
∵要让旅游者得到实惠,
∴ $ x = 5 $.
答:票价应上涨 5 元.

2. (核心素养)有一种新型高科技设备,每台设备成本价为 25 万元,经过市场调研发现,该设备的月销售量 $ y $(单位:台)和销售单价 $ x $(单位:万元)满足如图所示的一次函数关系.
(1)求月销售量 $ y $ 与销售单价 $ x $ 之间的函数关系式;(不写 $ x $ 的取值范围)
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于 28 万元. 如果该公司想获得 70 万元的月利润,那么该设备的销售单价应是多少万元?

答案： 【解析】：
### $(1)$求月销售量$y$与销售单价$x$之间的函数关系式
设月销售量$y$与销售单价$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知函数图象过点$(28,60)$，$(32,40)$，将这两点代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}28k + b = 60\\32k + b = 40\end{cases}$。
用$32k + b = 40$减去$28k + b = 60$，可得：
$\begin{aligned}(32k + b)-(28k + b)&=40 - 60\\32k + b - 28k - b&=-20\\4k&=-20\\k&=-5\end{aligned}$
把$k = -5$代入$28k + b = 60$，得：
$\begin{aligned}28×(-5)+b&=60\\-140 + b&=60\\b&=60 + 140\\b&=200\end{aligned}$
所以月销售量$y$与销售单价$x$之间的函数关系式为$y=-5x + 200$。
### $(2)$求设备的销售单价
设该设备的销售单价为$x$万元，每台设备成本价为$25$万元，根据“利润$=$（销售单价$-$成本单价）$×$销售量”，可得$(x - 25)(-5x + 200)=70$。
展开括号得：
$\begin{aligned}-5x^{2}+200x + 125x - 5000&=70\\-5x^{2}+325x - 5000 - 70&=0\\-5x^{2}+325x - 5070&=0\end{aligned}$
两边同时除以$-5$得$x^{2}-65x + 1014 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b=-65$，$c = 1014$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得：
$\begin{aligned}x&=\frac{65\pm\sqrt{(-65)^{2}-4×1×1014}}{2×1}\\&=\frac{65\pm\sqrt{4225 - 4056}}{2}\\&=\frac{65\pm\sqrt{169}}{2}\\&=\frac{65\pm13}{2}\end{aligned}$
则$x_{1}=\frac{65 + 13}{2}=\frac{78}{2}=39$，$x_{2}=\frac{65 - 13}{2}=\frac{52}{2}=26$。
因为此设备的销售单价不得高于$28$万元，而$39\gt28$，所以舍去$x = 39$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{y=-5x + 200}$；
$(2)$$\boldsymbol{26}$万元。