《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+3$经过点$A(2,3)$，与$x$轴负半轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$，且$OC=3OB$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点$D$在$y$轴上，且$∠BDO=∠BAC$，求点$D$的坐标.

答案：
解：
(1)由y=ax²+bx+3，得C(0,3)。
∴OC=3。
∵OC=3OB，
∴OB=1。
∴B(-1,0)。
把A(2,3)，B(-1,0)代入y=ax²+bx+3，得$\begin{cases}4a + 2b + 3 = 3\\a - b + 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3。
(2)如图，连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，D在y轴上。

∵A(2,3)，C(0,3)，
∴AF//x轴。
∴F(-1,3)。
∴BF=3，AF=3。
∴∠BAC=45°。
设D(0,m)，则OD=|m|。
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°。
∴OD=OB=1。
∴|m|=1，解得m=±1。
∴D₁(0,1)，D₂(0,-1)。

2. 已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$与坐标轴交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$.如图，连接$AC$.
(1)若点$P$是对称轴上一点，当$\triangle PAC$是等腰三角形时，求点$P$的坐标；
(2)若点$M$在抛物线对称轴上，且$\triangle ACM$是直角三角形，求点$M$的坐标.

答案： 解：
(1)抛物线的对称轴为直线x=1。
设P(1,m)，则AC²=1²+3²=10，AP²=[1-(-1)]²+m²=4+m²，CP²=1²+(m+3)²=1+(m+3)²。
分类讨论：
①当AC=AP时，m²+4=10，解得m=±$\sqrt{6}$。
∴P(1,$\sqrt{6}$)或P(1,-$\sqrt{6}$)；
②当AC=CP时，1+(m+3)²=10，解得m=0或m=-6。
∴P(1,0)或P(1,-6)；
③当AP=CP时，4+m²=1+(m+3)²，解得m=-1。
∴P(1,-1)。
综上所述，点P的坐标为(1,$\sqrt{6}$)或(1,-$\sqrt{6}$)或(1,0)或(1,-6)或(1,-1)。
(2)抛物线的对称轴为直线x=1。
设M(1,n)，则AC²=10，AM²=4+n²，CM²=1+(n+3)²。
分类讨论：
①当∠MAC=90°时，MA²+AC²=MC²，
∴n²+4+10=(n+3)²+1，解得n=$\frac{2}{3}$。
∴M(1,$\frac{2}{3}$)；
②当∠ACM=90°时，AC²+MC²=MA²，
∴10+(n+3)²+1²=n²+4，解得n=$-\frac{8}{3}$。
∴M(1,-$\frac{8}{3}$)。
③当∠AMC=90°时，AM²+CM²=AC²，
∴4+n²+1+(n+3)²=10，解得n=-1或n=-2。
∴M(1,-1)或M(1,-2)。
综上所述，点M的坐标为(1,$\frac{2}{3}$)或(1,-$\frac{8}{3}$)或(1,-1)或(1,-2)。