《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例1】如图，已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴交于点$A(1,0)$，$B(3,0)$，交$y$轴于点$C$，且$OC=3$.求抛物线的解析式及顶点坐标.

答案： 解:依题意,得$c = - 3$,
$\therefore y = ax^{2} + bx - 3$.
将点$A(1,0)$,$B(3,0)$代入,得
$\begin{cases}a + b - 3 = 0\\9a + 3b - 3 = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = - 1\\b = 4\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y = - x^{2} + 4x - 3$.
$\therefore y = - x^{2} + 4x - 3 = - (x - 2)^{2} + 1$.
$\therefore$顶点坐标为$(2,1)$.

【变式1】如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+6$经过点$A(-2,0)$，$B(4,0)$两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设点$D$是抛物线上一动点，点$D$的横坐标为$m(0\lt m\lt4)$，写出点$D$纵坐标$y$的取值范围.

答案： 解:
(1)$\because$抛物线与$x$轴的交点坐标为$A( - 2,0)$,$B(4,0)$,
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y = a(x + 2)(x - 4)$,即$y = ax^{2} - 2ax - 8a$.
$\therefore - 8a = 6$,解得$a = - \frac{3}{4}$.
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y = - \frac{3}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 6$.
(2)$\because y = - \frac{3}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 6 = - \frac{3}{4}(x - 1)^{2} + \frac{27}{4}$,
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 1$.
当$x = 1$时,$y$有最大值，最大值为$\frac{27}{4}$.
$\because$当$m = 0$时,$y = 6$;当$m = 4$时,$y = 0$,
$\therefore$当$0 \lt m \lt 4$时,$y$的取值范围为$0 \lt y \leq \frac{27}{4}$.

【例2】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为$16m$，宽为$6m$，抛物线的最高点$C$离路面$AA_{1}$的距离为$8m$.
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数解析式；
（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为$7m$，宽为$4m$.如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

答案： 解:
(1)根据题意,得$A( - 8,0)$,$B( - 8,6)$,$C(0,8)$.
设抛物线的解析式为$y = ax^{2} + 8(a \neq 0)$.
把$B( - 8,6)$代入,得$64a + 8 = 6$,
解得$a = - \frac{1}{32}$.
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y = - \frac{1}{32}x^{2} + 8$.
(2)根据题意，把$x = 4$代入解析式，得$y = 7.5m$.
$\because 7.5m \gt 7m$,
$\therefore$货车能安全通过.

【变式2】如图，水池中心点$O$处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，其中喷灌架置于点$O$处，以点$O$为原点建立平面直角坐标系，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是$1m$，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为$8m$时，达到最大高度$5m$.当喷射高度达到$4m$时，求水流喷射的水平距离.

答案： 解:由题可知抛物线的顶点为$(8,5)$.设水流形成的抛物线为$y = a(x - 8)^{2} + 5$.
将点$(0,1)$代入,得$a = - \frac{1}{16}$,
$\therefore$抛物线解析式为$y = - \frac{1}{16}(x - 8)^{2} + 5$.
当$y = 4$时,$ - \frac{1}{16}(x - 8)^{2} + 5 = 4$,
解得$x = 4$或$x = 12$.
答:当喷射高度达到$4m$时，水流喷射的水平距离为$4m$或$12m$.