《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
|方程|求根公式|根的判别式|方程的根与$\Delta$的关系|
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|$ax^{2}+bx+c=0$($a\neq0$)|$x=$$\frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$|$\Delta=$$b ^ { 2 } - 4 a c$|①$\Delta＞0\Leftrightarrow$方程有两个不相等的实数根；
②$\Delta$$=$$0\Leftrightarrow$方程有两个相等的实数根；
③$\Delta＜0\Leftrightarrow$方程没有实数根；
④$\Delta$$\geqslant$$0\Leftrightarrow$方程有两个实数根。|
|(1)已知一元二次方程$2x^{2}+3x+1=0$，则根的判别式$\Delta$的值为1，方程有两个不相等的实数根；
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+m=0$有两个相等的实数根，则$m=$1。

答案： $\frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$ $b ^ { 2 } - 4 a c$
①两个不相等的 ②$=$
③没有 ④$\geqslant$
(1)1 两个不相等的实数
(2)1

【例1】利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)$2x^{2}-3x-\frac{3}{2}=0$；
(2)$3x^{2}+10=x^{2}+8x$。

答案： 解：
(1)$\because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( - \frac { 3 } { 2 } ) = 21 ＞ 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
(2)将方程化成一般形式为$2 x ^ { 2 } - 8 x + 10 = 0$.
$\because \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 8 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × 10 = - 16 ＜ 0$，
$\therefore$方程没有实数根.

【变式1】(1)一元二次方程$2x^{2}+x-1=0$的根的情况是(A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案：
(1)A

(2)一元二次方程$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 只有一个实数根

答案：
(2)C

【变式2】(人教教材母题改编)无论$p$取何值，方程$(x - 3)(x - 2)-p^{2}=0$总有两个不相等的实数根吗？说明理由。

答案： 解：无论$p$取何值，方程$( x - 3 ) \cdot ( x - 2 ) - p ^ { 2 } = 0$总有两个不相等的实数根.理由如下：$( x - 3 ) ( x - 2 ) - p ^ { 2 } = 0$整理，得$x ^ { 2 } - 5 x + 6 - p ^ { 2 } = 0$，
$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 25 - 4 ( 6 - p ^ { 2 } ) = 1 + 4 p ^ { 2 } \geqslant 1$.
$\therefore$方程$( x - 3 ) ( x - 2 ) - p ^ { 2 } = 0$总有两个不相等的实数根.