《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例2】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx - 2=0$，求证：无论$m$取何值，该方程总有两个不相等的实数根。

答案： 证明：$\because \Delta = m ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 2 ) = m ^ { 2 } + 8 ＞ 0$，
$\therefore$无论$m$取何值，该方程总有两个不相等的实数根.

【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x + m + 1=0$有两个实数根。
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m=-1$时，求出此时方程的两个根。

答案： 解：
(1)由题意，可知$\Delta = 9 - 4 ( m + 1 ) \geqslant 0$，
解得$m \leqslant \frac { 5 } { 4 }$.
(2)当$m = - 1$时，$\Delta = 9$.
由求根公式，可知$x = \frac { 3 \pm \sqrt { 9 } } { 2 }$，
即$x _ { 1 } = 0$，$x _ { 2 } = 3$.

【变式3】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + m + 2=0$有两个不相等的实数根。
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$m$为正整数，求此时方程的根。

答案： 解：
(1)$\because$方程$x ^ { 2 } - 4 x + m + 2 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta = ( - 4 ) ^ { 2 } - 4 ( m + 2 ) = 8 - 4 m ＞ 0$，
解得$m ＜ 2$.
(2)$\because m$为正整数，且$m ＜ 2$，
$\therefore m = 1$.
当$m = 1$时，方程为$x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0$，
$\therefore x _ { 1 } = 1$，$x _ { 2 } = 3$.

1. 关于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^{2}+2x - 1=0$有实数根，则$m$的取值范围是(C)
A. $m\leqslant2$，且$m\neq1$
B. $m\geqslant0$
C. $m\geqslant0$且$m\neq1$
D. $m＜0$且$m\neq1$

答案： C

2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(m - 2)x - 2m=0$。
(1)求证：不论$m$为何值，该方程总有两个实数根；
(2)当方程有两个相等的实数根时，求出$m$的值及方程的根。

答案： 解：
(1)证明：$\because$方程为$x ^ { 2 } + ( m - 2 ) x - 2 m = 0$，
$\therefore \Delta = ( m - 2 ) ^ { 2 } + 8 m = ( m + 2 ) ^ { 2 } \geqslant 0$.
$\therefore$不论$m$为何值，该方程总有两个实数根.
(2)由题意，得$b ^ { 2 } - 4 a c = 0$，
即$( m + 2 ) ^ { 2 } = 0$，
解得$m = - 2$.
$\therefore$方程为$x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 0$，
解得$x _ { 1 } = x _ { 2 } = 2$.

3. 已知$a$，$b$，$4$是等腰三角形的三边长，且$a$，$b$是关于$x$的方程$x^{2}-6x + m + 6=0$的两个实数根，求$m$的值。

答案： 解：①当腰长为4时，把$x = 4$代入原方程，得$16 - 24 + m + 6 = 0$，
解得$m = 2$.
$\therefore$原方程为$x ^ { 2 } - 6 x + 8 = 0$，
解得$x _ { 1 } = 4$，$x _ { 2 } = 2$.
$\because 4 + 2 ＞ 4$，
$\therefore$能构成三角形.
②当底边为4时，那么关于$x$的一元二次方程$x ^ { 2 } - 6 x + m + 6 = 0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta = ( - 6 ) ^ { 2 } - 4 ( m + 6 ) = 0$，
解得$m = 3$.
$\therefore$原方程为$x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0$.
$\therefore$方程的两根为$x _ { 1 } = x _ { 2 } = 3$.
$\because 3 + 3 ＞ 4$，
$\therefore$能构成三角形.
综上所述，$m$的值是2或3.