《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

类型2 无盖长方体问题
【例7】如图1,一张长为40cm,宽为25cm的长方形硬纸片裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒,若纸盒的底面积是$450cm^{2}$,则纸盒的高是5cm.

答案： 5cm

类型3 小路、通道问题
【例8】(人教教材母题改编)如图是一块长为5m,宽为4m的地毯,为了美观,设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的$\frac {17}{80}$.
(1)求配色条纹的宽度;
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价为200元,其余部分每平方米的造价为100元,求地毯的总造价.

答案： 解：
(1)设配色条纹的宽度为$x m$.
根据题意，得$2x×5 + 2x×4 - 4x^{2}=\frac{17}{80}×5×4$，
解得$x_{1}=\frac{17}{4}$（不符合题意，舍去），$x_{2}=\frac{1}{4}$.
答：配色条纹的宽度为$\frac{1}{4}m$.
(2)条纹造价：$\frac{17}{80}×5×4×200 = 850$（元），
其余部分造价：$(1 - \frac{17}{80})×4×5×100 = 1575$（元），
$\therefore$总造价：$850 + 1575 = 2425$（元）.
答：地毯的总造价是2425元.

类型4 动点问题
【例9】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠B=90^{\circ },AB=8cm,BC=10cm$.点P由点A出发,沿边AB以2cm/s的速度向点B移动;点Q从点B出发,沿边BC以3cm/s的速度向点C移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,问:
(1)经过几秒后,$\triangle PBQ$的面积等于$9cm^{2}$?
(2)经过几秒后,P,Q两点间的距离是$2\sqrt {13}cm$?

答案： 解：
(1)设经过$x s$后，$\triangle PBQ$的面积等于$9cm^{2}$，则$BP=(8 - 2x)cm$，$BQ = 3x cm$.
根据题意，得$\frac{1}{2}(8 - 2x)×3x = 9$，
整理，得$x^{2}-4x + 3 = 0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$.
答：经过1s或3s后，$\triangle PBQ$的面积等于$9cm^{2}$.
(2)设经过$y s$后，$P$，$Q$两点间的距离是$2\sqrt{13}cm$，则$BP=(8 - 2y)cm$，$BQ = 3y cm$.
根据题意，得$(8 - 2y)^{2}+(3y)^{2}=(2\sqrt{13})^{2}$，
整理，得$13y^{2}-32y + 12 = 0$，
解得$y_{1}=\frac{6}{13}$，$y_{2}=2$.
答：经过$\frac{6}{13}s$或2s后，$P$，$Q$两点间的距离是$2\sqrt{13}cm$.