《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？

答案： 解：
(1)设每轮传染中平均一个人传染了$ x $个人。
根据题意，得$ 1 + x + x(1 + x) = 64 $，
解得$ x_1 = 7 $，$ x_2 = -9 $（不符合题意，舍去）。
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人。
(2)$ 64 + 64×7 = 512 $（人）。
答：三轮传染后患病的共有512人。

【变式3】今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致。非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快。某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病。
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？

答案： 解：
(1)设每头发病生猪平均每天传染$ x $头生猪。
根据题意，得$ 3 + 3x + (3 + 3x)x = 192 $，
解得$ x_1 = 7 $，$ x_2 = -9 $（不合题意，舍去）。
答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪。
(2)$ 192×(1 + 7) = 1536 $（头），
$ 1536 ＞ 1500 $。
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头。

1. 某电影一上映就受到观众热捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达12亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为$ 3 + 3(1 + x) + 3(1 + x)^2 = 12 $。

答案： $ 3 + 3(1 + x) + 3(1 + x)^2 = 12 $

2. (人教教材母题)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为$ 1 + x + x^2 = 91 $。

答案： $ 1 + x + x^2 = 91 $

3. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元。
(1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
(2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？

答案： 解：
(1)设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为$ x $。
根据题意，得$ 200(1 - x)^2 = 98 $，
解得$ x_1 = 0.3 = 30\% $，$ x_2 = 1.7 $（不符合题意，舍去）。
答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为$ 30\% $。
(2)设此次价格的下降率是$ y $。
根据题意，得$ 98(1 - y) ≥ 73.5 $，
解得$ y ≤ 0.25 $。
$ ∴y $的最大值是0.25，即$ 25\% $。
答：此次价格的下降率最多是$ 25\% $。