《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例1】(人教教材母题改编)方程$4x^{2}-6x=0$的解为$x = 0$或$x=\frac{3}{2}$.

答案： $x = 0$或$x=\frac{3}{2}$

【变式1】方程$4x^{2}-3x-1=0$的解为$x = -\frac{1}{4}$或$x = 1$.

答案： $x = -\frac{1}{4}$或$x = 1$

【例2】(人教教材母题改编)已知关于x的方程$(x-1)(x-2)=p^{2}$.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)方程的两根可能互为相反数吗? 为什么?

答案： 解：
(1)证明：
∵关于$x$的方程$(x - 1)\cdot(x - 2)-p^{2}=0$，
$\therefore x^{2}-3x + 2 - p^{2}=0$.
$\therefore\Delta=9 - 8 + 4p^{2}=1 + 4p^{2}＞0$.
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根.
(2)由
(1)知$x^{2}-3x + 2 - p^{2}=0$，
$\therefore$方程的两根和为3.
$\therefore$方程的两根不可能互为相反数.

【变式2】已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}+m=0$有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=12$,求m的值.

答案： 解：
(1)根据题意，得$\Delta=(2m)^{2}-4(m^{2}+m)\geqslant0$，
解得$m\leqslant0$.
$\therefore m$的取值范围是$m\leqslant0$.
(2)根据题意，得$x_{1}+x_{2}=-2m$，$x_{1}x_{2}=m^{2}+m$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=12$，
$\therefore(-2m)^{2}-2(m^{2}+m)=12$，
即$m^{2}-m - 6 = 0$，
解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=3$（不符合题意，舍去）.
$\therefore m$的值为$-2$.

【例3】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售日益火爆.据统计,某店2021年10月的销量为3万件,2021年12月的销量为3.63万件.
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率;
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变,则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件? 请利用计算说明.

答案： 解：
(1)设月平均增长率为$x$.
根据题意，得$3(1 + x)^{2}=3.63$，
解得$x_{1}=0.1 = 10\%$，$x_{2}=-2.1$（不符合题意，舍去）.
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为$10\%$.
(2)假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为$3.63×(1 + 10\%)=3.63×1.1 = 3.993$（万件）.
$\because3.993＜4$，$\therefore$没有超过.
答：2022年1月“冰墩墩”的销量没有超过4万件.

【变式3】(人教教材母题改编)有一个人患了流感,经过两轮传染后共有144个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了11个人.

答案： 11