《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例1】如图,点D在$\triangle ABC$的边AB上,$AD=1$,$BD=2$,$AC=\sqrt {3}$.
求证:(1)$\triangle ACD\backsim \triangle ABC$;
(2)$AC^{2}=AD\cdot AB$.

答案： 证明：
(1)
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
∵$∠A = ∠A$，
∴$△ACD∽△ABC$。
(2)由
(1)，得$△ACD∽△ABC$，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$。
∴$AC^{2}=AD·AB$。

【变式1】如图,在$\triangle ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,点D在边AC上,$AD=2$,若点E在边AB上,以A,D,E为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似,则AE的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{8}{3}$.

答案： $\frac{3}{2}$或$\frac{8}{3}$

【例2】如图,在菱形ABCD中,点E在AD上,若$AE:AB=1:3$,求$EF:FC$的值.

答案： 解：
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$AD = AB = BC$，$AD// BC$。
∴$△DEF∽△BCF$。
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$。
∵$AE:AB = 1:3$，
∴$AE:AD = 1:3$。
∴$DE:AD = 2:3$。
∴$DE:BC = 2:3$，即 $EF:FC = 2:3$。

【变式2】如图,在$\odot O$中,弦AC,BD相交于点P.若$AP=8$,$CP=6$,$BD=16$,求BP的长.

答案： 证明：在 $⊙O$ 中，$∠A = ∠B$，$∠D = ∠C$，
∴$△ADP∽△BCP$。
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{PD}{PC}$。
∴$PA·PC = PB·PD$。
∴$8×6 = BP·(16 - BP)$，
解得 $BP = 4$ 或 $12$。
∴$BP$ 的长为 $4$ 或 $12$。