《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. (1)方程$(x-1)^{2}=4$的解为$x_{1}=3,x_{2}=-1$；
(2)用直接开方法解方程：$x^{2}-2x+1=4$。
解:$(x-1)^{2}=4,$
$x-1=\pm 2,$
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1.$

答案：
(1)$x_{1}=3,x_{2}=-1$
(2)解:$(x-1)^{2}=4,$
$x-1=\pm 2,$
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1.$

(1)$x^{2}+10x+$25$=(x+$5$)^{2}$；
(2)$x^{2}-12x+$36$=(x-$6$)^{2}$；
(3)$x^{2}+5x+$$\frac {25}{4}$$=(x+$$\frac {5}{2}$$)^{2}$；
(4)$x^{2}-\frac {2}{3}x+$$\frac {1}{9}$$=(x-$$\frac {1}{3}$$)^{2}$。

答案：
(1)25 5
(2)36 6
(3)$\frac {25}{4}$ $\frac {5}{2}$
(4)$\frac {1}{9}$ $\frac {1}{3}$

【例1】用配方法解一元二次方程：
(1)(人教教材母题)$x^{2}+10x+9=0$；
(2)(人教教材母题)$x^{2}-8x+1=0$。

答案：
(1)解:$x^{2}+10x=-9,$
$x^{2}+10x+25=-9+25,$
$(x+5)^{2}=16,$
$x+5=\pm 4,$
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-9.$
(2)解:$x^{2}-8x=-1,$
$x^{2}-8x+16=-1+16,$
$(x-4)^{2}=15,$
$x-4=\pm \sqrt {15},$
$\therefore x_{1}=4+\sqrt {15},x_{2}=4-\sqrt {15}.$

【变式1】用配方法解一元二次方程：
(1)$x^{2}-4x+3=0$；
(2)$x^{2}+6x+4=0$。

答案：
(1)解:$x^{2}-4x=-3,$
$x^{2}-4x+4=-3+4,$
$(x-2)^{2}=1,$
$x-2=\pm 1,$
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=1.$
(2)解:$x^{2}+6x=-4,$
$x^{2}+6x+9=-4+9,$
$(x+3)^{2}=5,$
$x+3=\pm \sqrt {5},$
$\therefore x_{1}=-3+\sqrt {5},x_{2}=-3-\sqrt {5}.$

【例2】用配方法解一元二次方程：
(人教教材母题)$x^{2}-x-\frac {7}{4}=0$。

答案： 解:$x^{2}-x=\frac {7}{4},$
$x^{2}-x+\frac {1}{4}=\frac {7}{4}+\frac {1}{4},$
$(x-\frac {1}{2})^{2}=2,$
$x-\frac {1}{2}=\pm \sqrt {2},$
$\therefore x_{1}=\frac {1}{2}+\sqrt {2},x_{2}=\frac {1}{2}-\sqrt {2}.$

【变式2】用配方法解一元二次方程：
$x^{2}-3x+2=0$。

答案： 解:$x^{2}-3x=-2,$
$x^{2}-3x+\frac {9}{4}=-2+\frac {9}{4},$
$(x-\frac {3}{2})^{2}=\frac {1}{4},$
$x-\frac {3}{2}=\pm \frac {1}{2},$
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=1.$