《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. (人教教材母题)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

答案： 1. 解:设比赛组织者邀请$x$个队参赛.
依题意,得$\frac{x(x - 1)}{2} = 4×7$,
解得$x_1 = 8$,$x_2 = - 7$(不符合题意,舍去).
答:比赛组织者应邀请8个队参赛.

2. (易错)北京与上海的铁路沿线沿途有多个火车停靠站(包括北京站、上海站),至少能产生30种不同行程的火车票,求共有多少个停靠站.

答案： 2. 解:设共有$n$个停靠站,则每个停靠站可以开出$(n - 1)$种行程的火车票.
根据题意,得$n(n - 1) = 30$,
解得$n_1 = 6$,$n_2 = - 5$(不符合题意,舍去).
答:共有6个停靠站.

3. 如图,同一平面内两条直线相交最多有一个交点,三条直线两两相交最多有三个交点.
(1)四条直线两两相交最多有6个交点;
(2)多少条直线两两相交最多有28个交点?

解:(2)$n$条直线两两相交,最多有$\frac{n(n - 1)}{2}$个交点($n$为正整数,且$n≥2$).依题意,得$\frac{n(n - 1)}{2} = 28$,解得$n = 8$或$n = - 7$(不符合题意,舍去).答:8条直线两两相交最多有28个交点.

答案： 3. 解:
(1)6
(2)$n$条直线两两相交,最多有$\frac{n(n - 1)}{2}$个交点($n$为正整数,且$n≥2$).
依题意,得$\frac{n(n - 1)}{2} = 28$,
解得$n = 8$或$n = - 7$(不符合题意,舍去).
答:8条直线两两相交最多有28个交点.

4. (1)四边形有2条对角线,五边形有5条对角线,六边形有9条对角线,n边形有$\frac{n(n - 3)}{2}$条对角线;
(2)若一个多边形有20条对角线,求这个多边形的边数;
8
(3)是否存在一个多边形,它有25条对角线?
不存在

答案： 【解析】：
(1)根据多边形对角线公式：$n$边形从一个顶点出发可引出$(n - 3)$条对角线，$n$个顶点共有$\frac{n(n - 3)}{2}$条对角线（因为每条对角线都重复计算了一次）。
四边形：$\frac{4×(4 - 3)}{2}=\frac{4×1}{2}=2$条；
五边形：$\frac{5×(5 - 3)}{2}=\frac{5×2}{2}=5$条；
六边形：$\frac{6×(6 - 3)}{2}=\frac{6×3}{2}=9$条；
$n$边形：$\frac{n(n - 3)}{2}$条。
(2)设这个多边形边数为$n$，由$\frac{n(n - 3)}{2}=20$，即$n^{2}-3n - 40 = 0$，分解因式得$(n - 8)(n + 5)=0$，解得$n = 8$或$n=-5$（边数不能为负舍去），所以这个多边形边数是$8$。
(3)设边数为$n$，由$\frac{n(n - 3)}{2}=25$，即$n^{2}-3n - 50 = 0$，$\Delta=(-3)^{2}-4×1×(-50)=9 + 200 = 209$，$n=\frac{3\pm\sqrt{209}}{2}$，不是整数，所以不存在这样的多边形。
【答案】：
(1)$2$，$5$，$9$，$\frac{n(n - 3)}{2}$；
(2)$8$；
(3)不存在。