《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
如果两个多边形的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。
如图，四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似，写作四边形$ABCD\backsim$四边形$A'B'C'D'$（注意：表示对应顶点的字母要写在对应的位置上）。相似多边形对应边的比叫做相似比。
| |性质|判定（定义）|
|--|--|--|
|相似多边形|相似多边形的对应角相等，对应边成比例。|各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似。|
|几何语言|$\because$四边形$ABCD\backsim$四边形$A'B'C'D'$，$\therefore$$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$，$∠D=∠D'$，且$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {CD}{C'D'}=\frac {AD}{A'D'}$。|$\because$$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$，$∠D=∠D'$，$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {CD}{C'D'}=\frac {AD}{A'D'}$，$\therefore$四边形 $ABCD\backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$。|

答案： 成比例 对应边的比 相等 成比例
$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$，$∠D=∠D'$
$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {CD}{C'D'}=\frac {AD}{A'D'}$
成比例 $∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$，$∠D=∠D'$
$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {CD}{C'D'}=\frac {AD}{A'D'}$
四边形 $ABCD\backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$

【例1】如图，四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似。
(1)$\angle B=$$70^{\circ }$，相似比为$3:2$；
(2)求边x，y的长度。


解：(2)$∵$四边形 $ABCD\backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$，
$\therefore \frac {6}{x}=\frac {12}{8}=\frac {y}{12}$，
解得 $x=4$，$y=18$。

答案： 解：
(1)$70^{\circ }$ $3:2$
(2)$∵$四边形 $ABCD\backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$，
$\therefore \frac {6}{x}=\frac {12}{8}=\frac {y}{12}$，
解得 $x=4$，$y=18$。

【变式1】(人教教材母题改编)如图，已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$。
(1)求x，y的值；
(2)相似比$k=$____。

答案： 解：
(1)$\because △ABC\backsim △DEF$，
$\therefore \frac {AB}{DE}=\frac {AC}{DF}=\frac {BC}{EF}$，即 $\frac {7}{y}=\frac {12}{x}=\frac {8}{4}$，
解得 $x=6$，$y=\frac {7}{2}$。
(2)2

【例2】两个矩形的边长如图。
(1)求证：矩形ABCD与矩形$A'B'C'D'$相似；
(2)写出它们的相似比。

答案： 解：
(1)证明：$∵$四边形 $ABCD$，四边形 $A'B'C'D'$ 都是矩形，
$\therefore ∠A=∠A'=90^{\circ }$，$∠B=∠B'=90^{\circ }$，$∠C=∠C'=90^{\circ }$，$∠D=∠D'=90^{\circ }$。
$\therefore AB=2$，$BC=4$，$A'B'=4$，$B'C'=8$。
$\therefore \frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {CD}{C'D'}=\frac {AD}{A'D'}=\frac {1}{2}$。
$∴$矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$ 相似。
(2)$\frac {1}{2}$

【变式2】如图所示的两个三角形相似吗？为什么？

答案： 解：相似. 理由如下：
由图可知，两三角形为等腰直角三角形，
$\therefore \frac {AB}{DE}=\frac {AC}{DF}=\frac {BC}{EF}=\frac {5}{10}=\frac {1}{2}$，$∠A=∠D=90^{\circ }$，$∠B=∠E=∠C=∠F=45^{\circ }$，
$\therefore △ABC\backsim △DEF$。