《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】如图，在$\triangle ABC$中，$EF// BC$，$AF = 2$，$FC = 4$，$EF = 3$。
(1)求证：$\triangle AEF\backsim\triangle ABC$；
(2)求$BC$的长。

答案： 【例3】解:
(1)证明:$\because EF// BC$,
$\therefore\triangle AEF\backsim\triangle ABC$.
(2)$\because\triangle AEF\backsim\triangle ABC$,
$\therefore\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$,即$\frac{3}{6}=\frac{3}{BC}$.
$\therefore BC=9$.

【变式3】如图，$AB// CD$，$AD$与$BC$相交于点$O$，若$AO = 2$，$DO = 4$，$BO = 3$，$AB = 2.5$。
(1)求证：$\triangle OAB\backsim\triangle ODC$；
(2)求$CD$与$BC$的长。

答案： 【变式3】解:
(1)证明:$\because AB// CD$,
$\therefore\triangle OAB\backsim\triangle ODC$.
(2)$\because\triangle OAB\backsim\triangle ODC$,
$\therefore\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DC}=\frac{OB}{OC}$,即$\frac{2}{4}=\frac{2.5}{DC}=\frac{3}{OC}$,
$\therefore CD=5,OC=6$.
$\therefore BC=BO+OC=3+6=9$.

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，则下列判断不正确的是(D)
A. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
B. $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$
C. $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
D. $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{BD}$

答案： 1. D

2. 如图，用三个能够重合的正方形$ABGH$，$BCFG$，$CDEF$拼成矩形$ADEH$，连接$AE$，$AE$与$BG$，$CF$分别交于点$P$，$Q$。若$AB = 6cm$，则$BP=$2 cm，$CQ=$4 cm。

答案： 2.2 cm 4 cm

3. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$是边$BC$上的一点，$AE$交$BD$于点$F$。
(1)求证：$\triangle BEF\backsim\triangle DAF$；
(2)若$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，$BD = 10$，求$BF$的长。

答案： 3. 解:
(1)证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BE,AD=BC$.
$\therefore\triangle BEF\backsim\triangle DAF$.
(2)由
(1),得$\triangle BEF\backsim\triangle DAF$,
$\therefore\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{AD}$.
$\because AD=BC,\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3},BD=10$,
$\therefore\frac{10-DF}{DF}=\frac{2}{3}$,
解得$DF=6$.
$\therefore BF=BD-DF=4$.

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$EF// AB$，$AD = 3$，$AB = 7$，$BC = 6$，求$CF$的长。

答案： 4. 解:$\because AD=3,AB=7$,
$\therefore BD=4$.
$\because DE// BC,EF// AB$,
$\therefore$四边形$BDEF$是平行四边形.
$\therefore EF=BD=4$.
$\because EF// AB$,
$\therefore\frac{CF}{CB}=\frac{EF}{AB}$,即$\frac{FC}{6}=\frac{4}{7}$,
解得$CF=\frac{24}{7}$.