《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 某二次函数的图象的顶点为$(1,4)$，且过点$(0,3)$，则此二次函数的解析式为$y = -(x - 1)^2 + 4$.

答案： $y = -(x - 1)^2 + 4 $

2. 抛物线$y=-5x^{2}+20x$与$x$轴的交点为$(0, 0)$，$(4, 0)$.

答案： $ (0, 0) $，$ (4, 0) $

【例 1】校运会上，小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球出手时的高度为 1.8 m，当铅球飞行的水平距离为 4 m 时距离地面最高为 5 m. 铅球飞行的高度$y$(单位：m)与水平距离$x$(单位：m)之间的函数图象如图所示. 求：(1)$y$与$x$之间的函数关系式；(2)小明这次投掷的成绩.

答案： 解:
(1)由题意，得最高点为$ (4, 5) $，设 $y = a(x - 4)^2 + 5 $。
∵铅球出手时的高度为 $ 1.8 \, \text{m} $，
∴当 $ x = 0 $ 时，$ y = 1.8 $。
∴ $ 1.8 = a(0 - 4)^2 + 5 $，解得 $ a = -\frac{1}{5} $。
∴ $ y = -\frac{1}{5}(x - 4)^2 + 5 $。
(2)由
(1)知 $ y = -\frac{1}{5}(x - 4)^2 + 5 $，
当 $ y = 0 $ 时，$ 0 = -\frac{1}{5}(x - 4)^2 + 5 $，
解得 $ x = 9 $ 或 $ x = -1 $（不符合题意，舍去）。
∴小明这次投掷的成绩为 $ 9 \, \text{m} $。

【变式 1】足球训练中，小军从球门正前方 8 m 的$A$处射门，球射向球门的路线呈抛物线. 当球离球门的水平距离为 2 m 时，球达到最高点，此时球离地面 3 m，现以点$O$为原点建立如图所示直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知球门高$OB$为 2.4 m，通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

答案： 解:
(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为$ (2, 3) $。
设抛物线为 $ y = a(x - 2)^2 + 3 $。
把点 $ A(8, 0) $ 代入，得 $ 36a + 3 = 0 $，
解得 $ a = -\frac{1}{12} $。
∴抛物线的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{12}(x - 2)^2 + 3 $。
(2)当 $ x = 0 $ 时，$ y = -\frac{1}{12} × 4 + 3 = \frac{8}{3} ＞ 2.4 $，
∴球不能射进球门。

【例 2】如图所示的是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m 时，水面宽 4 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线拱桥的函数关系式；
(2)当水面下降 2 m 时，水面的宽度是多少?

答案：
解:
(1)如图所示，建立平面直角坐标系。

设抛物线的解析式为 $ y = ax^2(a \neq 0) $。把点 $ (2, -2) $ 代入，得 $ -2 = a × 2^2 $，
解得 $ a = -0.5 $。
∴ $ y = -0.5x^2 $。
(2)当 $ y = -4 $ 时，$ -4 = -0.5x^2 $，
解得 $ x_1 = -2\sqrt{2} $，$ x_2 = 2\sqrt{2} $。
∴ $ 2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}(\text{m}) $。
答：当水面下降 $ 2 \, \text{m} $ 时，水面的宽度为 $ 4\sqrt{2} \, \text{m} $。