《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】一位病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2h，每毫升血液中的含药量达到最大值为4mg，已知服药后，2h前每毫升血液中的含药量$y$(单位：mg)与时间$x$(单位：h)成正比例，2h后$y$与$x$成反比例(如图)，解答下列问题：
(1)求当$0\leqslant x\leqslant 2$时，$y$与$x$的函数关系式；
(2)求当$x＞2$时，$y$与$x$的函数关系式.
(3)若每毫升血液中的含药量不低于2mg时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长?

答案： 【例3】解：
(1)根据图象，正比例函数图象经过点$(2,4)$.
设函数关系式为$y=kx(k≠0)$.
则$2k=4$，解得$k=2$.
$\therefore$正比例函数关系式为$y=2x(0≤x≤2)$.
(2)根据图象可知，反比例函数图象经过点$(2,4)$.
设反比例函数关系式为$y=\frac{k'}{x}$.
则$\frac{k'}{2}=4$，解得$k'=8$.
$\therefore$反比例函数关系式为$y=\frac{8}{x}(x＞2)$.
(3)当$y=2$时，$2x=2$，解得$x=1$.
当$y=2$时，$\frac{8}{2}=2$，解得$x=4$.
$\because 4-1=3$(h)，
$\therefore$服药一次，治疗疾病的有效时间是3h

【变式2】一般成人喝半斤低度白酒后，1.5h内(包括1.5h)其血液中酒精含量$y$(单位：mg/100mL)与时间$x$(单位：h)的关系可近似地用二次函数$y=-200x^{2}+400x$表示；1.5h后(包括1.5h)$y$与$x$的关系可近似地用反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$表示，如图所示.
(1)求$k$的值；
(2)某驾驶员晚上喝完半斤低度白酒，则有多长时间其血液中酒精含量不低于72mg/100mL?

答案： 【变式2】解：
(1)当$x=1.5$时，
$y=-200x^{2}+400x=-200×2.25+400×1.5=150$，
$\therefore k=1.5×150=225$.
(2)当$y=72$时，$-200x^{2}+400x=72$，
解得$x=\frac{9}{5}$(不符合题意，舍去)或$\frac{1}{5}$.
$\frac{1}{5}h=12min$；
由
(1)，得当$x≥1.5$时，$y=\frac{225}{x}$.
则$y=72$时，$72=\frac{225}{x}$，
解得$x=3.125$.
$3.125h=187.5min$，
$187.5-12=175.5$(min)，
$\therefore 175.5min$内其酒精含量不低于72mg/100mL.

| |第1天|第2天|第3天|第4天|
|--|--|--|--|--|
|售价$x/$(元/盒)|150|120|100|80|
|销售量$y/$盒|40|50|60|75|
(1)请写出$y$与$x$之间的反比例函数解析式，并补全表格；
$y=\frac{6000}{x}$
(2)在试销4天后，老陈决定将销售价格定为100元/盒，并且每天都按这个价格销售，销售量与售价仍然满足试销期的关系，那么余下的蔬菜礼盒预计再用多少天可以全部售出?
3天

答案： 解：
(1)设$y$与$x$之间的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，
由表中数据，可得$k=xy=120×50=6000$，
$\therefore y$与$x$之间的反比例函数解析式为$y=\frac{6000}{x}$.
填表：150 60
(2)销售4天后剩下的数量$m=405-(40+50+60+75)=180$，
当$x=100$时，$y=\frac{6000}{100}=60$，
$\therefore 180÷60=3$(天)，
$\therefore$余下的蔬菜礼盒预计再用3天可以全部售出.