《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = a(x - h)^{2}+k$的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x = h$。

答案： $(h,k)$ 直线$x = h$

2. 填表：
| |开口方向|对称轴|顶点坐标|
|----|----|----|----|
|$y = - 3(x - 1)^{2}-2$| | | |
|$y=\frac{1}{2}(x + 3)^{2}+10$| | | |
|$y = - x^{2}-5$| | | |
|$y=\sqrt{2}(x - 7)^{2}$| | | |

答案： $y = -3(x - 1)^{2}-2$ 向下 直线$x = 1$ $(1,-2)$
$y=\frac{1}{2}(x + 3)^{2}+10$ 向上 直线$x = -3$ $(-3,10)$
$y = -x^{2}-5$ 向下 $y$轴 $(0,-5)$
$y=\sqrt{2}(x - 7)^{2}$ 向上 直线$x = 7$ $(7,0)$

3. 你能确定二次函数$y = x^{2}+6x + 8$的顶点坐标吗？

答案： $(-3,-1)$

【例1】将下列抛物线利用配方法化为$y = a(x - h)+k$的形式，并写出开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)$y = x^{2}+6x + 8$；
(2)$y = x^{2}-8x$。

答案： 解：
(1)$\because y = x^{2}+6x + 8 = x^{2}+6x + 9 - 1=(x + 3)^{2}-1$，
$\therefore$抛物线的开口向上，对称轴为直线$x = -3$，顶点坐标为$(-3,-1)$。
(2)$\because y = x^{2}-8x = x^{2}-8x + 16 - 16=(x - 4)^{2}-16$，
$\therefore$抛物线的开口向上，对称轴为直线$x = 4$，顶点坐标为$(4,-16)$。

【变式1】(1)求抛物线$y = x^{2}-2x - 4$的顶点坐标和对称轴；抛物线的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,-5)$。
(2)求二次函数$y = x^{2}+3x - 1$的最小值。二次函数$y = x^{2}+3x - 1$的最小值为$-\frac{13}{4}$。

答案： 解：
(1)$\because y = x^{2}-2x - 4 = x^{2}-2x + 1 - 5=(x - 1)^{2}-5$，
$\therefore$抛物线的开口向上，对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,-5)$。
(2)$\because y = x^{2}+3x - 1 = x^{2}+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-1=(x+\frac{3}{2})^{2}-\frac{13}{4}$，$\therefore$二次函数$y = x^{2}+3x - 1$的最小值为$-\frac{13}{4}$。