《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

根据以下素材，探索完成任务。
【任务驱动】2024 年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于 4 月 19 日至 21 日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以 8 金 1 银总奖牌 9 枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情。数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查。
【研究步骤】如图，某跳水运动员在 10m 跳台上进行跳水训练，水面与 y 轴交于点 E(0,-10)，运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点 O 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点 A 的坐标为$(\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{16})$。正常情况下，运动员在距水面高度 5m 之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线。
【问题解决】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务。
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点 B 的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与 y 轴的水平距离为 3m，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由；
(3)在该运动员入水处点 B 的正前方有 M，N 两点，且 EM=6，EN=8，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为$ y=(x-h)^2 +k。$若该运动员出水处点 D 在 MN 之间(包括 M，N 两点)，请求出 k 的取值范围。

答案： 解：
(1)设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 $ y = a \left( x - \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2 } + \frac { 9 } { 16 } $。
∵抛物线经过原点，
∴ $ \frac { 9 } { 16 } a + \frac { 9 } { 16 } = 0 $，解得 $ a = - 1 $。
∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 $ y = - x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } x $。
当 $ y = - 10 $ 时， $ - x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } x = - 10 $，解得 $ x = 4 $ 或 $ x = - \frac { 5 } { 2 } $（舍去）。
∴点 $ B $ 的坐标为 $ ( 4, - 10 ) $。
(2)
∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与 $ y $ 轴的水平距离为 $ 3 m $，
∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为 $ 3 $。
∴当 $ x = 3 $ 时， $ y = - 9 + \frac { 3 } { 2 } × 3 = - \frac { 9 } { 2 } $。
∴调整点的坐标为 $ \left( 3, - \frac { 9 } { 2 } \right) $，
∴运动员此时距离水面高度为 $ - \frac { 9 } { 2 } - ( - 10 ) = \frac { 11 } { 2 } ( m ) $。
∵ $ \frac { 11 } { 2 } ＞ 5 $，
∴运动员此次跳水不会失误。
(3)
∵ $ E M = 6 $， $ E N = 8 $， $ E ( 0, - 10 ) $，
∴ $ M ( 6, - 10 ) $， $ N ( 8, - 10 ) $。
∵入水处点 $ B ( 4, - 10 ) $，
∴ $ - 10 = ( 4 - h ) ^ { 2 } + k $。①
当抛物线经过点 $ M $ 时，
$ - 10 = ( 6 - h ) ^ { 2 } + k $。②
由①②联立方程组，解得 $ k = - 11 $， $ h = 5 $。
当抛物线经过点 $ N $ 时，
$ - 10 = ( 8 - h ) ^ { 2 } + k $。③
由①③联立方程组，解得 $ k = - 14 $， $ h = 6 $。
∵出水处点 $ D $ 在 $ M N $ 之间（包括 $ M $， $ N $ 两点），
∴ $ - 14 \leq k \leq - 11 $。