《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + m + 1 = 0 $ 有两个实数根。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $ 满足 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 x _ { 1 } x _ { 2 } $，求 $ m $ 的值。

答案： 解：
(1)$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m+1=0$有两个实数根，
$\therefore \Delta =(-4)^{2}-4(m+1)=16-4m-4≥0$，
解得$m≤3$。
(2)$\because$该方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=m+1$。
$\because x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}$，
$\therefore 2(m+1)=4$，
解得$m=1$。

【变式3】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + ( 2 k + 1 ) x + k ^ { 2 } - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $。
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)当 $ x _ { 1 } x _ { 2 } = 3 $ 时，求 $ k $ 的值。

答案： 解：
(1)$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}-1=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore (2k+1)^{2}-4(k^{2}-1)＞0$。
整理，得$4k+5＞0$。
解得$k＞-\frac{5}{4}$。
(2)$\because$方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$，
$\therefore x_{1}x_{2}=k^{2}-1=3$。
解得$k_{1}=2,k_{2}=-2$。
$\because k＞-\frac{5}{4},\therefore k=2$。

1. (多维原创)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $ 有两个实数根 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，则下列等式正确的是(D)
A. $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 $
B. $ x _ { 1 } x _ { 2 } = - 2 $
C. $ x _ { 1 } = x _ { 2 } $
D. $ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = 6 $

答案： D

2. 已知 $ \alpha $，$ \beta $ 满足 $ \alpha + \beta = 3 $，且 $ \alpha \beta = 2 $，写出一个以 $ \alpha $，$ \beta $ 为两根的一元二次方程：$x^{2}-3x+2=0$。

答案： (答案不唯一)$x^{2}-3x+2=0$

3. 已知一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - c = 0 $ 的一个根为 $ 2 + \sqrt { 3 } $，则另一个根为$2-\sqrt{3}$，$ c = $-1。

答案： $2-\sqrt{3}$ -1

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 3 x + k - 2 = 0 $ 有实数根。
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，若 $ ( x _ { 1 } + 1 ) ( x _ { 2 } + 1 ) = - 1 $，求 $ k $ 的值。

答案： 解：
(1)$\because$关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k-2=0$有实数根，
$\therefore \Delta =3^{2}-4×1×(k-2)≥0$。
解得$k≤\frac{17}{4}$。
$\therefore k$的取值范围是$k≤\frac{17}{4}$。
(2)$\because$方程$x^{2}+3x+k-2=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=k-2$。
$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，
$\therefore x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-1$。
$\therefore k-2+(-3)+1=-1$，
解得$k=3$，即k的值是3。