《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 已知点$A(1,0)$，$B(3,0)$，则线段$AB=$2.

答案： 2

2. 已知点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，则线段$AB=$4.

答案： 4

3. 已知点$A(0,3)$，$B(0,-4)$，则线段$AB=$7.

答案： 7

【例1】如图，已知抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与$x$轴的两个交点分别为$A(1,0)$，$B(3,0)$，与$y$轴的交点为$C$.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求$\triangle ABC$的面积；
(3)若点$D$是抛物线上的一动点，且$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，求点$D$的坐标.

答案： 解:
(1)抛物线的解析式为
$y=-(x-1)(x-3)=-x^{2}+4x-3$。
(2)$\because$抛物线$y=-x^{2}+4x-3$，
$\therefore$当$x=0$时，$y=-3$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-3)$。
$AB=3-1=2$，
$\triangle ABC$的面积为$\frac{2×|-3|}{2}=3$。
(3)设$D(m,-m^{2}+4m-3)$。
则$S_{\triangle ABD}=\frac{2×|-m^{2}+4m-3|}{2}=|-m^{2}+4m-3|$。
$\because S_{\triangle ABD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，
$\therefore|-m^{2}+4m-3|=\frac{1}{3}×3$，
解得$m_{1}=2+\sqrt{2}$，$m_{2}=2-\sqrt{2}$，$m_{3}=2$。
$\therefore$点$D$的坐标为$(2+\sqrt{2},-1)$或$(2-\sqrt{2},-1)$或$(2,1)$。

【例2】如图，已知二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象与$x$轴交于点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求点$A$，$B$，$C$的坐标及直线$BC$的解析式；
(2)$F$为线段$BC$一个动点(点$F$与$B$，$C$不重合)，过点$F$作$y$轴的平行线交抛物线于点$P$.若设点$P$的横坐标为$m$，用含$m$的代数式表示线段$PF$的长；
(3)求$\triangle PBC$面积的最大值，并求此时点$P$的坐标.

答案： 解:
(1)令$y=0$，得$x^{2}-2x-3=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
令$x=0$，得$y=-3$。
$\therefore$点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$。
则有$\begin{cases}b=-3\\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$。
$\therefore$直线$BC$解析式为$y=x-3$。
(2)$\because$点$P$的横坐标为$m$，
$\therefore$点$P$的纵坐标为$m^{2}-2m-3$。
$\therefore$点$F(m,m-3)$。
$\therefore PF=(m-3)-(m^{2}-2m-3)=-m^{2}+3m$。
(3)$\because S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PCF}+S_{\triangle PBF}=\frac{1}{2}PF\cdot BO=\frac{1}{2}(-m^{2}+3m)×3=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$，
$\therefore$当$m=\frac{3}{2}$时，$\triangle PBC$的面积最大，为$\frac{27}{8}$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$。