《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

一、预习导学
相等∠A=∠A',∠B=∠B'

答案： 相等　∠A=∠A',∠B=∠B'

【例1】如图，∠B=∠D，∠1=∠2. 求证：△ABC∽△ADE.

答案： 证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
　即∠BAC=∠DAE.
　又
∵∠B=∠D,
∴△ABC∽△ADE.

【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC. 求证：△ABD∽△ACB.

答案： 证明:
∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠C.
　又
∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB.

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 求证：
(1)AC²=AD·AB；
(2)BC²=BD·AB；
(3)CD²=AD·BD.

答案： 证明:
(1)
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CDA=90°=∠BCA,
　又
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴AC:AB=AD:AC,
∴AC²=AD·AB.
(2)
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CDB=90°=∠ACB.
　又
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴BC:AB=BD:BC,
∴BC²=BD·AB.
(3)由
(1)
(2),得△ACD∽△CBD,
∴CD:BD=AD:CD,
∴CD²=AD·BD.

【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上的一点，连接DE，点F为线段DE上的一点，且∠AFE=∠B. 求证：
(1)△ADF∽△DEC；
(2)BC·CD=DE·AF.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//DC.
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.
∵∠AFE=∠B,∠AFD+∠AFE=180°,
∴∠AFD=∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)由
(1),得△ADF∽△DEC,
∴$\frac{AF}{DC}$=$\frac{AD}{DE}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
∴$\frac{AF}{DC}$=$\frac{BC}{DE}$,
　即BC·CD=DE·AF.