《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 已知点$A(3,y_{1}),B(-2,y_{2}),C(1,y_{3})$都在反比例函数$y=\frac {6}{x}$的图象上,则(A)
A. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
B. $y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
C. $y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
D. $y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$

答案： 1. A

2. 已知关于x的反比例函数$y=\frac {1+m}{x}$的图象经过点$A(2,3)$.
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)当$1≤x＜4$时,求y的取值范围.

答案： 2. 解：（1）
∵关于$x$的反比例函数$y=\frac{1+m}{x}$的图象经过点$A(2,3)$，
∴$3=\frac{1+m}{2}$．
∴$1+m=6$．
∴这个反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$．
（2）当$x=1$时，$y=6$；
当$x=4$时，$y=\frac{3}{2}$，
∴当$1\leqslant x＜4$时，$y$的取值范围是$\frac{3}{2}＜y\leqslant 6$．

3. 如图,已知$A(-5,n),B(3,-5)$是一次函数$y=kx+b$的图象和反比例函数$y=\frac {m}{x}$的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求$△AOB$的面积;
(3)结合图象,直接写出不等式$kx+b-\frac {m}{x}＜0$的解集.

答案： 3. 解：（1）
∵点$A(-5,n)$，点$B(3,-5)$都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$m=-5n=3×(-5)$，
解得$m=-15$，$n=3$．
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{15}{x}$．
∴点$A$的坐标是$(-5,3)$．
将$A$，$B$两点坐标代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-5k+b=3,\\3k+b=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=-x-2$．
（2）在$y=-x-2$中，令$y=0$，则$x=-2$．
∴点$C$的坐标为$(-2,0)$．
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×2×5=8$．
（3）不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$的解集是$-5＜x＜0$或$x＞3$．

4. 如图,在矩形OABC中,$OA=3,OC=2$,点F是AB上的一个动点(点F不与点A,B重合),过点F的反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象与边BC交于点E.
(1)当点F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,$△EFA$的面积最大,最大面积是多少?

答案： 4. 解：（1）
∵在矩形$OABC$中，$OA=3$，$OC=2$，
∴点$B(3,2)$．
∵点$F$为$AB$的中点，
∴点$F(3,1)$．
∵点$F$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=3$．
∴该函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$．
（2）由题意，知$E$，$F$两点的坐标分别为$E(\frac{k}{2},2)$，$F(3,\frac{k}{3})$，
∴$S_{\triangle EFA}=\frac{1}{2}AF\cdot BE=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}k\cdot(3-\frac{1}{2}k)=\frac{1}{2}k-\frac{1}{12}k^{2}=-\frac{1}{12}(k^{2}-6k+9-9)=-\frac{1}{12}(k-3)^{2}+\frac{3}{4}$．
∴当$k=3$时，$S$有最大值，$S_{最大值}=\frac{3}{4}$．