《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例4】(人教教材母题改编)参加一次聚会的每两人都握了一次手,若所有人共握手10次,有多少人参加聚会?

答案： 解：设有$x$人参加聚会.
根据题意，得$\frac{1}{2}x(x - 1)=10$，
整理，得$x^{2}-x - 20 = 0$，
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-4$（不符合题意，舍去）.
答：有5人参加聚会.

【变式4】某学习小组的成员互赠新年贺卡,共用去72张贺卡,则该学习小组有9名成员.

答案： 9

【例5】某食品店平均每天可卖出300只粽子,卖出1只粽子的利润是1元,经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获取的利润更多,该店决定把零售单价下降m$(0\lt m\lt1)$元.
(1)零售单价下降0.2元后,该店平均每天可卖出500只粽子,每天获取的利润为400元;
(2)在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使该店每天获取的利润是400元并且卖出的粽子更多?
解：(2)根据题意，得
$(1 - m)(300 + 100×\frac{m}{0.1})=400$，
整理，得$10m^{2}-7m + 1 = 0$，
解得$m_{1}=0.2$，$m_{2}=0.5$.
又$\because$要求卖出的粽子更多，
$\therefore m = 0.5$.
答：当$m$定为0.5时，才能使该店每天获取的利润是400元并且卖出的粽子更多.

答案： 解：
(1)500 400
(2)根据题意，得
$(1 - m)(300 + 100×\frac{m}{0.1})=400$，
整理，得$10m^{2}-7m + 1 = 0$，
解得$m_{1}=0.2$，$m_{2}=0.5$.
又$\because$要求卖出的粽子更多，
$\therefore m = 0.5$.
答：当$m$定为0.5时，才能使该店每天获取的利润是400元并且卖出的粽子更多.

【变式5】某运动品牌销售一款运动鞋,已知每双运动鞋的成本价为60元,当售价为100元时,平均每天能售出200双;经过一段时间销售发现,平均每天售出的运动鞋数量y(单位:双)与降低价格x(单位:元)之间存在如图所示的函数关系.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元,且优惠力度最大,则每双运动鞋的售价应该定为多少?
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,公司每天能否获得9000元的利润? 若能,求出定价;若不能,请说明理由.

答案： 解：
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b(k\neq0)$，
将$(0,200)$，$(10,300)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}b = 200\\10k + b = 300\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 10\\b = 200\end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y = 10x + 200$.
(2)根据题意，得
$(100 - 60 - x)(10x + 200)=8910$，
整理，得$x^{2}-20x + 91 = 0$，
解得$x_{1}=7$，$x_{2}=13$.
又$\because$要求优惠力度最大，
$\therefore x = 13$.
$\therefore100 - x = 100 - 13 = 87$.
答：每双运动鞋的售价应该定为87元.
(3)公司每天能获得9000元的利润.理由如下：
根据题意，得$(100 - 60 - x)(10x + 200)=9000$，
整理，得$x^{2}-20x + 100 = 0$，
解得$x_{1}=x_{2}=10$.
$\because$每双运动鞋的利润不低于成本价的$50\%$，
$\therefore100 - 60 - x\geqslant60×50\%$，解得$x\leqslant10$.
$\therefore x = 10$符合题意.
$\therefore$公司每天能获得9000元的利润.