《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

1. 根与系数的关系：
一元二次方程 $ ax ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 的两个根为 $ x _ { 1 } = \frac { - b + \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $，$ x _ { 2 } = \frac { - b - \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $，请计算 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } $ 与 $ x _ { 1 } x _ { 2 } $。结论：$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $$-\frac{b}{a}$，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = $$\frac{c}{a}$。(前提条件：$ \Delta \geq 0 $)

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

2. 若 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0 $ 的两个实数根，则：
$ a = $2，$ b = $-4，$ c = $-1。
$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $$-\frac{b}{a}$$ = $2；
$ x _ { 1 } x _ { 2 } = $$\frac{c}{a}$$ = $$-\frac{1}{2}$。

答案： 2 -4 -1 $-\frac{b}{a}$ 2 $\frac{c}{a}$ $-\frac{1}{2}$

【例1】求下列方程两个根的和与积：
(1)(人教教材母题)$ 3 x ^ { 2 } + 2 = 1 - 4 x $；
(2)(人教教材母题)$ 7 x ^ { 2 } - 5 = x + 8 $。
解：(1)方程化为$3x^{2}+4x+1=0$。
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{3},x_{1}x_{2}=\frac{1}{3}$。
(2)方程化为$7x^{2}-x-13=0$。
$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{1}{7},x_{1}x_{2}=-\frac{13}{7}$。

答案： 解：
(1)方程化为$3x^{2}+4x+1=0$。
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{3},x_{1}x_{2}=\frac{1}{3}$。
(2)方程化为$7x^{2}-x-13=0$。
$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{1}{7},x_{1}x_{2}=-\frac{13}{7}$。

【变式1】(1)若方程 $ x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0 $ 的两根分别为 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } = $____；
(2)若矩形的长和宽分别是方程 $ 3 x ^ { 2 } - 12 x + 10 = 0 $ 的两个根，求该矩形的周长和面积。

答案： 【变式1】
(1)-2
(2)解：设该矩形的长为a，宽为b。
根据题意，得$a+b=4,ab=\frac{10}{3}$。
则该矩形的周长为$2(a+b)=8$，面积为$ab=\frac{10}{3}$。

【例2】已知方程 $ 2 x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0 $ 的两个根分别为 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，求下列代数式的值。
(1)$ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } $；
(2)$ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } $。

答案： 解：$\because x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}-4x-3=0$的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=-\frac{3}{2}$。
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2^{2}-2×(-\frac{3}{2})=7$。
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}+\frac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{2}{-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$。

【变式2】已知方程 $ x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0 $ 的两个根分别为 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，求下列代数式的值。
(1)$ ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } $；17
(2)$ ( x _ { 1 } + 3 ) ( x _ { 2 } + 3 ) $。-2

答案： 解：$\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+3x-2=0$的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=-2$。
(1)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=17$。
(2)$(x_{1}+3)(x_{2}+3)=x_{1}x_{2}+3(x_{1}+x_{2})+9=-2$。