《2025年多维导学案九年级数学全一册人教版》

【例3】(人教教材母题)解方程：$2x^{2}-2\sqrt {2}x+1=0.$

答案： 【例3】解：$a=2$，$b=-2\sqrt {2}$，$c=1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt {2})^{2}-4×2×1=0$。
$\therefore x_{1}=x_{2}=-\frac {-2\sqrt {2}}{2×2}=\frac {\sqrt {2}}{2}$。

【变式3】解方程：$x^{2}+x+\frac {1}{4}=0.$

答案： 【变式3】解：$a=1$，$b=1$，$c=\frac {1}{4}$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×\frac {1}{4}=0$。
$\therefore x_{1}=x_{2}=-\frac {1}{2}$。

1. $x=\frac {-3\pm \sqrt {3^{2}+4×2×1}}{2×2}$是下列哪个一元二次方程的根(C)
A. $2x^{2}+3x+1=0$
B. $2x^{2}-3x+1=0$
C. $2x^{2}+3x-1=0$
D. $2x^{2}-3x-1=0$

答案： C

2. 用公式法解下列方程：
(1)(人教教材母题)$5x^{2}-3x=x+1;$
(2)(人教教材母题)$x^{2}+17=8x.$

答案：
(1)解：方程化为$5x^{2}-4x-1=0$。
$a=5$，$b=-4$，$c=-1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×5×(-1)=36＞0$。
$\therefore x=\frac {4\pm \sqrt {36}}{2×5}=\frac {4\pm 6}{10}$。
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac {1}{5}$。
(2)解：方程化为$x^{2}-8x+17=0$。
$a=1$，$b=-8$，$c=17$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×17=-4＜0$。
$\therefore$方程无实数根。

3. 用公式法解下列方程：
(1)$3x^{2}+4x=2;$
(2)$2x^{2}+5=7x.$

答案：
(1)解：方程化为$3x^{2}+4x-2=0$。
$a=3$，$b=4$，$c=-2$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-2)=40＞0$。
$\therefore x=\frac {-4\pm \sqrt {40}}{2×3}=\frac {-4\pm 2\sqrt {10}}{6}$。
$\therefore x_{1}=\frac {-2+\sqrt {10}}{3}$，$x_{2}=\frac {-2-\sqrt {10}}{3}$。
(2)解：方程化为$2x^{2}-7x+5=0$。
$a=2$，$b=-7$，$c=5$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×2×5=9＞0$。
$\therefore x=\frac {-(-7)\pm \sqrt {9}}{2×2}=\frac {7\pm 3}{4}$。
$\therefore x_{1}=\frac {5}{2}$，$x_{2}=1$。

4. 点$A$在数轴的负半轴，点$B$在数轴的正半轴，且点$A$对应的数是$2x+1$，点$B$对应的数是$x^{2}+x$，已知$AB=5$，则$x$的值为-2.

答案： -2

5. 对于两个不相等的实数$a$，$b$，我们规定符号$Max\{ a,b\} $表示$a$，$b$中的较大值，如：$Max(2,4)=4$.按照这个规定，方程$Max(x,-x)=x^{2}-2$的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$.

答案： $x_{1}=2$，$x_{2}=-2$