《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

教材母题 (教材 P93 习题 4.3T5)
如图，将直线 $ OA $ 向上平移 $ 1 $ 个单位，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数的表达式。

答案： 这个一次函数的表达式为 y=2x+1。

1. 将直线 $ y = -6x + 5 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度后得到的直线表达式是y=-6x-7，向右平移 $ 3 $ 个单位长度后的表达式是y=-6x+23，直线 $ y = kx + b $ 向左或向右平移 $ m $ 个单位长度后的表达式分别是y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b。

答案： 1. y=-6x-7 y=-6x+23 y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b

2. (1)直线 $ y = -2x + 4 $ 关于 $ x $ 轴对称的直线表达式是y=2x-4，关于 $ y $ 轴对称的直线表达式是y=2x+4；
(2)猜想直线 $ y = kx + b $ 分别关于 $ x $ 轴对称和关于 $ y $ 轴对称的直线的表达式为y=-kx-b,y=-kx+b。

答案： 2.
(1) y=2x-4 y=2x+4
(2) y=-kx-b,y=-kx+b

3. 已知直线 $ y = -0.5x + 1 $ 与直线 $ y = 2x - 1 $ 的图象如图所示。
(1)猜想：这两条直线有何位置关系？并说明理由。
(2)归纳：已知直线 $ l_1: y = k_1x + b_1(k_1 \neq 0) $，直线 $ l_2: y = k_2x + b_2(k_2 \neq 0) $，若 $ l_1 \perp l_2 $，则 $ k_1k_2 = $-1。
(3)应用：
①已知直线 $ y = 4x + 1 $ 与直线 $ y = kx - 1 $ 互相垂直，求 $ k $ 的值；
②若直线 $ l $ 经过点 $ P(-2, -5) $，且与直线 $ y = -\frac{1}{3}x + 3 $ 互相垂直，求直线 $ l $ 的表达式。

答案： 1. （1）
解：这两条直线互相垂直。
理由：对于直线$y = - 0.5x + 1$，$k_1=-0.5$；对于直线$y = 2x - 1$，$k_2 = 2$。
因为$k_1k_2=-0.5×2=-1$，根据“若两条直线$y = k_1x + b_1(k_1\neq0)$与$y = k_2x + b_2(k_2\neq0)$，当$k_1k_2=-1$时，两直线垂直”，所以这两条直线互相垂直。
2. （2）
答案：$-1$。
3. （3）
①
解：已知直线$y = 4x + 1$与直线$y = kx - 1$互相垂直，根据$k_1k_2=-1$（这里$k_1 = 4$，$k_2 = k$）。
则$4k=-1$，解得$k=-\frac{1}{4}$。
②
解：设直线$l$的表达式为$y = kx + b$。
因为直线$l$与直线$y =-\frac{1}{3}x + 3$互相垂直，根据$k_1k_2=-1$（这里$k_1=-\frac{1}{3}$，$k_2 = k$），所以$-\frac{1}{3}k=-1$，解得$k = 3$。
又因为直线$l$经过点$P(-2,-5)$，把$x=-2$，$y = - 5$，$k = 3$代入$y = kx + b$中，得$-5=3×(-2)+b$。
即$-5=-6 + b$，解得$b=-5 + 6=1$。
所以直线$l$的表达式为$y = 3x+1$。