《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

1. 如图，一文物被探明位于 $A$ 点地下 $48\mathrm{m}$ 的 $C$ 处，由于 $A$ 点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离 $A$ 点 $14\mathrm{m}$ 的 $B$ 处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖(C)

A.$14\mathrm{m}$
B.$48\mathrm{m}$
C.$50\mathrm{m}$
D.$60\mathrm{m}$

答案： 1.C

2. 一棵大树在离地面 $5\mathrm{m}$ 处折断倒下，树顶落在离树根 $12\mathrm{m}$ 处，如图是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是(B)

A.$20\mathrm{m}$
B.$18\mathrm{m}$
C.$16\mathrm{m}$
D.$15\mathrm{m}$

答案： 2.B

3. 如图，在离水面高度为 $8\mathrm{m}$ 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 $BC$ 的长为 $17\mathrm{m}$，几分钟后船到达 $D$ 点的位置，此时绳子 $CD$ 的长为 $10\mathrm{m}$，则船向岸边移动了9$\mathrm{m}$。

答案： 3.9

4. 某隧道的截面是一个半径为 $3.6\mathrm{m}$ 的半圆形，一辆高 $2.4\mathrm{m}$、宽 $3\mathrm{m}$ 的集装箱卡车能通过该隧道吗？

答案： 4.集装箱卡车能通过该隧道。

5.（推理能力）综合与实践。
（1）如图 1，四个全等的直角三角形构成一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 $a$，较短的直角边为 $b$，斜边为 $c$，结合图 1，试验证勾股定理；
（2）如图 2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为 $24$，$OC = 3$，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图 3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 $ABCD$，正方形 $EFGH$，正方形 $MNKT$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$，$S_3$，若 $S_1 + S_2 + S_3 = 42$，求 $S_2$ 的值。

答案： 1. （1）验证勾股定理
解：大正方形的面积可以表示为$c^{2}$，也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab+(a - b)^{2}$。
因为$4×\frac{1}{2}ab+(a - b)^{2}=2ab+a^{2}-2ab + b^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即验证了勾股定理。
2. （2）
飞镖状图案的面积$S = 4×\frac{1}{2}×3×4=24$。
3. （3）求$S_{2}$的值
设八个全等的直角三角形每个直角三角形的面积为$m$。
则$S_{1}=S_{2}+4m$，$S_{3}=S_{2}-4m$。
已知$S_{1}+S_{2}+S_{3}=42$，将$S_{1}=S_{2}+4m$，$S_{3}=S_{2}-4m$代入可得：
$(S_{2}+4m)+S_{2}+(S_{2}-4m)=42$。
即$3S_{2}=42$，解得$S_{2}=14$。
综上，答案依次为：（1）通过大正方形面积的两种表示方法验证$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；（2）24；（3）14。