《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

10. 若直角三角形中有一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”。
如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $。
（1）若 $ AC^{2} = 3 $，$ BC = 2 $，试说明 $ Rt \triangle ABC $ 是“等边中三角形”；
（2）若 $ BC = 2 $ 且 $ Rt \triangle ABC $ 是“等边中三角形”，求 $ AC^{2} $ 的值。

答案： 1. （1）
首先求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC^{2}=3$，$BC = 2$，则$AB=\sqrt{3 + 4}=\sqrt{7}$。
取$AB$的中点$D$，连接$CD$。
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$CD=\frac{1}{2}AB$。
计算$CD$的长度：$CD=\frac{\sqrt{7}}{2}$，$AC^{2}=3$，$AC=\sqrt{3}$，$BC = 2$。
再求$AB$边上的中线$CD$与$AB$的关系：
因为$CD=\frac{1}{2}AB\neq AB$，$AC\neq BC$。
取$BC$的中点$E$，连接$AE$。
根据勾股定理，$AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}$，$CE=\frac{1}{2}BC = 1$，$AC^{2}=3$，则$AE=\sqrt{3 + 1}=2$。
因为$AE = BC = 2$，所以$Rt\triangle ABC$是“等边中三角形”。
2. （2）
设$AC^{2}=x$，则$AC=\sqrt{x}$。
分两种情况讨论：
情况一：当$BC$边上的中线等于$BC$时：
取$BC$中点$M$，连接$AM$。
根据勾股定理$AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}}$，$CM=\frac{1}{2}BC = 1$，$AM = BC = 2$。
由$AM=\sqrt{x + 1}$，则$\sqrt{x + 1}=2$，两边平方得$x+1 = 4$，解得$x = 3$。
情况二：当$AB$边上的中线等于$AB$时：
取$AB$中点$N$，连接$CN$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{x + 4}$，$CN=\frac{1}{2}AB$。
因为$CN = AB$，所以$\frac{1}{2}\sqrt{x + 4}=\sqrt{x + 4}$（无解）；或者根据直角三角形斜边中线定理$CN=\frac{1}{2}AB$，当$CN = AB$时，$AB = 2CN$，又$CN=\frac{1}{2}AB$，矛盾，舍去这种情况。
情况三：当$AC$边上的中线等于$AC$时：
取$AC$中点$F$，连接$BF$。
根据勾股定理$BF=\sqrt{CF^{2}+BC^{2}}$，$CF=\frac{1}{2}\sqrt{x}$，$BF=\sqrt{x}$。
则$\sqrt{\frac{x}{4}+4}=\sqrt{x}$。
两边平方得$\frac{x}{4}+4=x$。
移项得$x-\frac{x}{4}=4$，即$\frac{3x}{4}=4$，解得$x=\frac{16}{3}$。
综上，（1）已证；（2）$AC^{2}$的值为$3$或$\frac{16}{3}$。

11. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ AB = 8 cm $，$ BC = 6 cm $，$ P $，$ Q $ 是 $ \triangle ABC $ 边上的两个动点，其中点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ A \to B $ 方向运动，且速度为 $ 1 cm/s $，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ B \to C \to A $ 方向运动，且速度为 $ 2 cm/s $，它们同时出发，设运动的时间为 $ t s $。
（1）运动 $ 2 s $ 后，求 $ PQ^{2} $ 的值；
（2）当点 $ Q $ 在 $ BC $ 边上运动时，运动几秒后，$ \triangle PQB $ 能形成等腰三角形？

答案： $11. (1)PQ^2 = 52 (2)$运动$\frac{8}{3} s$后，△PQB能形成等腰三角形。