《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

1. 平方根
定义：一般地，如果一个数 $ x $ 的平方等于 $ a $，即 $ x^{2}=a $，那么这个数$x$就叫作$a$的平方根(也叫作二次方根)。
注意：一个正数有两个平方根；$ 0 $ 只有一个平方根，它是$0$本身；负数没有平方根。
2. 开平方
定义：求一个数 $ a(a \geqslant 0) $ 的平方根的运算，叫作开平方，$ a $ 叫作被开方数。
3. 平方根与算术平方根的联系与区别
联系：(1)被开方数 $ a $ 均为非负数；
(2)$ 0 $ 的平方根与算术平方根都是 $ 0 $。
区别：(1)正数 $ a $ 有两个平方根，一个是 $ a $ 的算术平方根 $ \sqrt{a} $，另一个是 $ -\sqrt{a} $，它们互为相反数；
(2)表示方式的区别：正数 $ a $ 的平方根记为“$ \pm \sqrt{a} $”，读作“正、负根号 $ a $”，正数 $ a $ 的算术平方根记为“$ \sqrt{a} $”，读作“根号 $ a $”。

答案： 1.这个数$x$ $a$ 两 一 $0$ 没有 2.平方根

例 1 求下列各数的平方根。
（1）$ 25 $；（2）$ \dfrac{16}{81} $；（3）$ 15 $；（4）$ 0.36 $。

答案： （1）$\pm5$；（2）$\pm\frac{4}{9}$；（3）$\pm\sqrt{15}$；（4）$\pm0.6$

例 2 求下列各式的值：
（1）$ \sqrt{81} $；（2）$ -\sqrt{\dfrac{1}{36}} $；（3）$ \sqrt{(-4)^{2}} $；
（4）$ \pm \sqrt{64} $；（5）$ \sqrt{1-\dfrac{7}{16}} $；（6）$ -\sqrt{1\dfrac{9}{16}} $。

答案： 例 2 （1）$9$；（2）$-\frac{1}{6}$；（3）$4$；（4）$\pm8$；（5）$\frac{3}{4}$；（6）$-\frac{5}{4}$。

例 3 求下列各式中 $ x $ 的值：
（1）$ 5x^{2}=125 $；
（2）$ 2(x - 1)^{2}=78 $；
（3）$ 25x^{2}=(-11)^{2} $；
（4）$ 144x^{2}-1=0 $。

答案： 例 3 （1）$x = \pm5$；（2）$x = 1\pm\sqrt{39}$；（3）$x = \pm\frac{11}{5}$；（4）$x = \pm\frac{1}{12}$

1. [2024·内江] $ 16 $ 的平方根是(D)

A.$ 2 $
B.$ -4 $
C.$ 4 $
D.$ \pm 4 $

答案： 1.D

2. [2024 秋·金水区校级月考]“$ \dfrac{9}{25} $ 的平方根是 $ \pm \dfrac{3}{5} $”的数学表达式是(A)

A.$ \pm \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\pm \dfrac{3}{5} $
B.$ \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\pm \dfrac{3}{5} $
C.$ \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5} $
D.$ \pm \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5} $

答案： 2.A