《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

双求法
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力。如图1是著名的赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，由此可以证明勾股定理，思路是根据大正方形面积的两种求法，一种是等于$c^{2}$，另一种是等于四个直角三角形与中间的小正方形的面积之和，即$\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^{2}$，从而得到等式$c^{2}=\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^{2}$，化简可得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”。
【方法运用】把两个全等的$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEA$如图2放置，其中$AB = DE = a$，$AC = AE = b$，$BC = AD = c$，$\angle BAC=\angle DEA = 90^{\circ}$，$BC\perp AD$。
(1)连接$BD$，$CD$，请用$a$，$b$，$c$分别表示出四边形$ABDC$，梯形$AEDC$，$\triangle EBD$的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。(对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半)
【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：
(2)如图3，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的高，$AC = 4$，$BC = 3$，求$CD$的长。
(3)如图4，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 4$，$AC = 5$，$BC = 6$，求$BD$的长。

答案：

(1) 四边形 $ABDC$ 面积：$\frac{1}{2}c^2$；梯形 $AEDC$ 面积：$\frac{1}{2}(a+b)^2$；$\triangle EBD$ 面积：$\frac{1}{2}ab$。由 $\frac{1}{2}(a+b)^2 = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab$，化简得 $a^2 + b^2 = c^2$。

(2) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CD$，即 $\frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × CD$，解得 $CD = \frac{12}{5}$。

(3) 设 $BD = x$，则 $DC = 6 - x$，由 $AB^2 - BD^2 = AC^2 - DC^2$ 得 $4^2 - x^2 = 5^2 - (6 - x)^2$，解得 $x = \frac{9}{4}$，即 $BD = \frac{9}{4}$。