《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

1. 二次根式
定义：一般地，形如$\sqrt{a}$的式子叫作二次根式，$a$叫作被开方数。
注意：二次根式应满足以下两个条件：
形式上必须是$\sqrt{a}$的形式；
被开方数$a$必须是非负数。
2. 二次根式的乘法法则
乘法法则：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$。
意义：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
特别提示：
公式中的$a$，$b$既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的；
此法则可推广为$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}=\sqrt{abc}(a\geq0,b\geq0,c\geq0)$；
当二次根式前面有系数时，可以类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3. 二次根式的除法法则
除法法则：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a\geq0,b＞0)$。
意义：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
特别提示：进行二次根式的除法运算时，运算结果要进行化简，即开得尽方的因数（或因式）要开出来。

答案： 1.$\sqrt{a} (a \geq 0)$ 2.$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \geq 0, b \geq 0)$
3.$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \geq 0, b ＞ 0)$

例 1 下列各式中，不是二次根式的是(B)

A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{-3}$
C.$\sqrt{0}$
D.$\sqrt{a}(a\geq0)$

答案： 【例1】B

例 2 当$x$为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)$\sqrt{-x}$；
(2)$\sqrt{x + 2}$；
(3)$\sqrt{1 - x}+\sqrt{x}$；
(4)$\dfrac{\sqrt{1 - 2x}}{x + 1}$。

答案： 【例2】
(1)$x \leq 0$
(2)$x \geq -2$
(3)$0 \leq x \leq 1$
(4)$x \leq \frac{1}{2}$且$x \neq -1$

例 3 计算：
(1)$\sqrt{2}×\sqrt{7}$；
(2)$\sqrt{\dfrac{1}{5}}×\sqrt{125}$；
(3)$\sqrt{3}×\sqrt{12}$。

答案： 【例3】
(1)$\sqrt{14}$
(2)$5$
(3)$6$

例 4 计算：
(1)$\sqrt{48}÷\sqrt{6}$；
(2)$\dfrac{\sqrt{6x^{2}y}}{\sqrt{2xy}}$。

答案： 【例4】
(1)$\sqrt{8}$
(2)$\sqrt{3x}$