《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

15. [2023·张家界]阅读下面材料：
将边长分别为$a$，$a + \sqrt{b}$，$a + 2\sqrt{b}$，$a + 3\sqrt{b}$的正方形面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$，
则$S_2 - S_1 = (a + \sqrt{b})^2 - a^2$
$= [(a + \sqrt{b}) + a] \cdot [(a + \sqrt{b}) - a]$
$= (2a + \sqrt{b}) \cdot \sqrt{b}$
$= b + 2a\sqrt{b}$。
例如，当$a = 1$，$b = 3$时，$S_2 - S_1 = 3 + 2\sqrt{3}$。
根据以上材料解答下列问题：
(1)当$a = 1$，$b = 3$时，$S_3 - S_2 =$9 + 2\sqrt{3}，$S_4 - S_3 =$15 + 2\sqrt{3}。
(2)当$a = 1$，$b = 3$时，把边长为$a + n\sqrt{b}$的正方形面积记作$S_{n + 1}$，其中$n$是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出$S_{n + 1} - S_n$等于多少吗？并证明你的猜想。
(3)当$a = 1$，$b = 3$时，令$t_1 = S_2 - S_1$，$t_2 = S_3 - S_2$，$t_3 = S_4 - S_3$，$\cdots$，$t_n = S_{n + 1} - S_n$，且$T = t_1 + t_2 + t_3 + \cdots + t_{50}$，求$T$的值。

答案： $15.(1)9 + 2\sqrt{3} 15 + 2\sqrt{3}(2)S_{n + 1} - S_n = 6n - 3 + 2\sqrt{3}。$证明略。$(3)7 500 + 100\sqrt{3}$

16. [2024·北京期中]已知$a$，$b$都是实数，$m$为整数，若$a + b = 2m$，则称$a$与$b$是关于$m$的一组“平衡数”。
(1)$\sqrt{2}$与2 - \sqrt{2}是关于 1 的一组“平衡数”；
(2)$3 - \sqrt{2}$与3 + \sqrt{2}是关于 3 的一组“平衡数”；
(3)若$a = 4 + \sqrt{3}$，$b = \sqrt{3} - 4$，判断$a^2$与$b^2$是否为关于某数的一组“平衡数”，并说明理由。

答案：

(1)$2 - \sqrt{2}$

(2)$3 + \sqrt{2}$

(3)$a^2$与$b^2$是关于$19$的一组“平衡数”。理由如下：

$a^2=(4+\sqrt{3})^2=16 + 8\sqrt{3} + 3=19 + 8\sqrt{3}$

$b^2=(\sqrt{3}-4)^2=3 - 8\sqrt{3} + 16=19 - 8\sqrt{3}$

$a^2 + b^2=19 + 8\sqrt{3} + 19 - 8\sqrt{3}=38=2×19$

故$a^2$与$b^2$是关于$19$的一组“平衡数”。