《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

5. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = BC $，点 $ P $ 在斜边 $ AB $ 上，以 $ PC $ 为直角边作等腰直角三角形 $ PCQ $，$ \angle PCQ = 90^{\circ} $，试探索 $ PA^{2} $，$ PB^{2} $，$ PC^{2} $ 三者之间的数量关系，并说明理由。

答案：

$PA^{2} + PB^{2} = 2PC^{2}$

证明：连接 $QB$。

因为 $\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，所以 $\angle A = \angle ABC = 45^{\circ}$。

因为 $\triangle PCQ$ 是等腰直角三角形，$\angle PCQ = 90^{\circ}$，所以 $PC = QC$，$\angle PCQ = 90^{\circ}$。

所以 $\angle ACB = \angle PCQ$，则 $\angle ACB - \angle PCB = \angle PCQ - \angle PCB$，即 $\angle ACP = \angle BCQ$。

在 $\triangle ACP$ 和 $\triangle BCQ$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = BC \\ \angle ACP = \angle BCQ \\ PC = QC \end{array}\right.$，所以 $\triangle ACP \cong \triangle BCQ(SAS)$。

所以 $PA = QB$，$\angle A = \angle CBQ = 45^{\circ}$。

所以 $\angle ABQ = \angle ABC + \angle CBQ = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$。

在 $Rt\triangle PBQ$ 中，$PB^{2} + QB^{2} = PQ^{2}$。

因为 $PA = QB$，所以 $PB^{2} + PA^{2} = PQ^{2}$。

在等腰直角三角形 $PCQ$ 中，$PQ^{2} = PC^{2} + QC^{2} = 2PC^{2}$。

所以 $PA^{2} + PB^{2} = 2PC^{2}$。

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 是 $ AB $ 边的中点，$ DE \perp AB $ 于点 $ D $，交 $ AC $ 于点 $ E $，且 $ AE^{2} - CE^{2} = BC^{2} $。
（1）试说明 $ \angle C = 90^{\circ} $；
（2）若 $ DE = 6 $，$ BD = 8 $，求 $ CE $ 的长。

答案： 1. （1）
解：连接$BE$。
因为$D$是$AB$边的中点，$DE\perp AB$，根据线段垂直平分线的性质，可得$AE = BE$。
已知$AE^{2}-CE^{2}=BC^{2}$，将$AE = BE$代入可得：$BE^{2}-CE^{2}=BC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，在$\triangle BCE$中，若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = BC$，$b = CE$，$c = BE$），则$\angle C = 90^{\circ}$。
2. （2）
解：因为$D$是$AB$边的中点，$BD = 8$，所以$AB=2BD = 16$。
又因为$DE\perp AB$，$DE = 6$，在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = DE$，$b = BD$，$c = BE$），可得$BE=\sqrt{BD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
所以$AE = BE = 10$。
设$CE=x$，则$AC=AE + CE=10 + x$，$BC^{2}=BE^{2}-CE^{2}=100-x^{2}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 16$，$AC=10 + x$，$BC^{2}=100 - x^{2}$，根据勾股定理$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$(10 + x)^{2}+100 - x^{2}=16^{2}$。
展开$(10 + x)^{2}+100 - x^{2}=16^{2}$得：$100+20x+x^{2}+100 - x^{2}=256$。
化简得：$20x+200 = 256$。
移项得：$20x=256 - 200$，即$20x=56$。
解得$x=\frac{56}{20}=\frac{14}{5}$。
所以（1）通过连接$BE$，利用线段垂直平分线性质和勾股定理逆定理可证$\angle C = 90^{\circ}$；（2）$CE$的长为$\frac{14}{5}$。

7. [2024·和平区校级月考]如图，已知在长方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 cm $，$ AD = 9 cm $，将此长方形折叠，使点 $ B $ 与点 $ D $ 重合，折痕为 $ EF $，则 $ \triangle ABE $ 的面积为6 cm^2。

答案： $7.6 cm^2$

8. 如图是一个供滑板爱好者使用的 $ U $ 型池，该 $ U $ 型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的横截面是半径为 $ 3 m $ 的半圆，该部分的边缘 $ AB = CD = 15 m $，点 $ E $ 在 $ CD $ 上，$ CE = 3 m $，一滑行爱好者从 $ A $ 点到 $ E $ 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，$ \pi $ 取整数 3）

答案： 8. 他滑行的最短距离约为15 m。

9. 张丘建是我国著名的数学家，著有《张丘建算经》。一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至 $ A $ 处时，与鹿所在的 $ B $ 处还差 36 步（“步”是我国古代长度单位，1 里 $ = 300 $ 步）；此时鹿突然向北跑，猎人就沿着 $ AD $ 追去，追了 50 步至 $ D $ 处与鹿所在的位置 $ C $ 处还差 10 步（点 $ A $，$ C $，$ D $ 在同一直线上）。如果此鹿一开始就不向北转，而是继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”已知单位时间内鹿跑的路程和猎人追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题。

答案： 9. 猎人需要追900步才能追上此鹿。