《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

例 1 4 个全等的直角三角形的直角边分别为 $a,b$，斜边为 $c$。现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试。

答案： 【例1】图形整体是一个直角梯形，上底为 $a$，下底为 $b$，高为 $a + b$，其面积为 $\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}(a + b)^2$。

该梯形由两个直角边为 $a$、$b$ 的直角三角形和一个直角边为 $c$ 的等腰直角三角形组成，面积也可表示为 $2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。

则 $\frac{1}{2}(a + b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，展开得 $\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，即 $\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简得 $a^2 + b^2=c^2$。

例 2 如图，甲到某岛上去探宝，登陆后（登陆点为 $A$）先往东走 $8\mathrm{km}$，又往北走 $3\mathrm{km}$，遇到障碍后折向西走了 $3\mathrm{km}$，再折往北走了 $5\mathrm{km}$，最后往东拐，仅走 $1\mathrm{km}$ 就找到了宝藏。试问：如果从登陆点 $A$ 直接沿直线走到宝藏埋藏点，比甲所行走的路程要近多少？

答案： 【例2】如果从登陆点A直接沿直线走到宝藏埋藏点，比甲所行走的路程要近10km。

1. [2024 春·唐县期末]下面各图中，不能证明勾股定理的是(C)

答案： 1.C

2. 小明从家出发向正北方向走了 $600\mathrm{m}$，接着向正西方向走到离家 $1000\mathrm{m}$ 远的地方，则小明向正西方向走了(B)

A.$1000\mathrm{m}$
B.$800\mathrm{m}$
C.$600\mathrm{m}$
D.$400\mathrm{m}$

答案： 2.B

3. 甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东 $30^{\circ}$ 方向走了 $3.6\mathrm{km}$，乙往北偏西 $60^{\circ}$ 方向走了 $4.8\mathrm{km}$，则此时甲、乙相距6$\mathrm{km}$。

答案： 3.6