《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

6. (创新意识、模型观念)[2024秋·扶风县期中]先阅读下面的材料,再解决问题。
【实际问题】如图1,一圆柱的底面半径为5cm,BC是底面直径,高AB为5cm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。
【解决方案】小明设计了两条路线。
路线1:沿AB剪开摊平,如图2,侧面展开图中的线段AC即为所求路线。
∵底面半径为5cm,
∴底面周长为10π,
∴BC=5π,
设路线1的长度为l₁,则l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+(5π)²=25+25π²。
路线2:高线AB+底面直径BC。
设路线2的长度为l₂,则l₂²=(AB+BC)²=(5+10)²=225。
为比较l₁,l₂的大小,采用“作差法”:
∵l₁²-l₂²=25(π²-8)＞0,∴l₁²＞l₂²,
∴l₁＞l₂,
∴小明认为路线2较短。
【问题类比】(1)小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”。请你用上述方法帮小亮比较出哪条路线更短。
【问题拓展】(2)请你继续研究:在一般情况下,若圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C,当r/h满足什么条件时,路线2较短? 请说明理由。
【问题解决】(3)如图3是紧密排列在一起的两个相同的圆柱,高为5cm。当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径r。

答案： 6.
(1)路线1较短。
(2)当$\frac{r}{h}＞\frac{4}{\pi^{2}-4}$时，路线2较短。
(3)$r=\frac{10}{\pi^{2}-4}$