《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

5. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $ C $，河边原有两个取水点 $ A $，$ B $，其中 $ AB = AC $。由于某种原因，由村庄 $ C $ 到取水点 $ A $ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 $ H $（$ A $，$ H $，$ B $ 在同一条直线上），并新修一条路 $ CH $，测得 $ CB = 1.5 km $，$ CH = 1.2 km $，$ HB = 0.9 km $。
(1)$ CH $ 是否为从村庄 $ C $ 到河边的最近道路？请通过计算加以说明。
(2)新路 $ CH $ 比原路 $ CA $ 近多少？

答案： 1. （1）判断$CH$是否为从村庄$C$到河边的最近道路：
解：在$\triangle CHB$中，已知$CB = 1.5km$，$CH = 1.2km$，$HB = 0.9km$。
根据勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为最长边），计算$CH^{2}+HB^{2}$的值：
$CH^{2}+HB^{2}=(1.2)^{2}+(0.9)^{2}=1.44 + 0.81=2.25$。
又因为$CB^{2}=(1.5)^{2}=2.25$。
所以$CH^{2}+HB^{2}=CB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$\triangle CHB$是直角三角形，且$\angle CHB = 90^{\circ}$，即$CH\perp AB$。
根据垂线段最短，所以$CH$是从村庄$C$到河边的最近道路。
2. （2）求新路$CH$比原路$CA$近多少：
解：设$AC = x$，因为$AB = AC$，$AH=x - 0.9$。
在$Rt\triangle ACH$中，根据勾股定理$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$（直角三角形两直角边$a$、$b$的平方和等于斜边$c$的平方，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$）。
把$AC = x$，$AH=x - 0.9$，$CH = 1.2$代入$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$得：
$x^{2}=(x - 0.9)^{2}+1.2^{2}$。
展开$(x - 0.9)^{2}$：根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 0.9$，则$(x - 0.9)^{2}=x^{2}-1.8x + 0.81$。
所以$x^{2}=x^{2}-1.8x + 0.81+1.2^{2}$。
移项得：$x^{2}-x^{2}+1.8x=0.81 + 1.44$。
合并同类项得：$1.8x=2.25$。
解得$x = 1.25$。
则$AC - CH=1.25-1.2 = 0.05(km)$。
综上，（1）$CH$是从村庄$C$到河边的最近道路；（2）新路$CH$比原路$CA$近$0.05km$。

6. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动。他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）：

(1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆 $ AB $ 的高度；
(2)该小组要写出一份完整的实践活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）。

答案： 6.
(1)旗杆的高度为13.02m。
(2)旗杆的高度。(答案不唯一，合理即可)。