《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

探究平面直角坐标系中两点间的距离
阅读下列材料。
材料一 我们知道,求数轴上两点之间的距离,可借助这两个点所表示的数来求。
例如,如图1,数轴上点A表示的数是$x_{1}$,点B表示的数是$x_{2}$,则点A,B之间的距离为$AB = |x_{1} - x_{2}|$。
材料二 问题:如何在平面直角坐标系中求任意两点之间的距离?
探究:如图2,$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$是平面直角坐标系中任意两点,过A,B两点分别向x轴、y轴作垂线,过点A垂直于y轴的直线与过点B垂直于x轴的直线相交于点C。
在$Rt\triangle ABC$中,$\because AC = |x_{1} - x_{2}|$,$BC = |y_{1} - y_{2}|$,$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$,
$\therefore AB^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$,$\therefore AB = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}$。
结论:平面直角坐标系中任意两点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$之间的距离公式为$AB =\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}$。
根据上面的信息,回答问题:
(1)求点$M(2,-6)$,$N(-1,8)$之间的距离。
(2)已知点$A(2,1)$,$B(4,3)$,C为坐标轴上的点,且$\triangle ABC$是以AB为底边的等腰三角形,请求出点C的坐标。

答案：
(1) $\sqrt{205}$
(2)点 C 的坐标为(5,0)或(0,5)。