《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

1. [2024·长沙]对于一次函数 $ y = 2x - 1 $，下列结论正确的是(A)

A.它的图象与 $ y $ 轴交于点 $ (0, - 1) $
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.当 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时，$ y ＜ 0 $
D.它的图象经过第一、二、三象限

答案： 1.A

2. [2023·天津]若直线 $ y = x $ 向上平移 3 个单位长度后经过点 $ (2,m) $，则 $ m $ 的值为5。

答案： 2.5

3. 已知一次函数 $ y = - 2x + 4 $。
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(2)图象与 $ x $ 轴的交点 $ A $ 的坐标是$(2,0)$，与 $ y $ 轴的交点 $ B $ 的坐标是$(0,4)$；
(3)随着 $ x $ 值的增大，$ y $ 的值将减小(填“增大”或“减小”)；
(4)根据图象直接写出当 $ y ＜ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围。

答案：
3.
(1)

(2)$(2,0)$ $(0,4)$
(3)减小
(4)由函数图象知，当$y ＜ 0$时，$x$的取值范围为$x$ $＞ 2$。

4. [2023·临沂]对于某个一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $，根据两位同学的对话得出的结论错误的是(C)


A.$ k ＞ 0 $
B.$ kb ＜ 0 $
C.$ k + b ＞ 0 $
D.$ k = - \frac{1}{2}b $

答案： 4.C

5. 对于平面直角坐标系中的点 $ P(x,y) $，若 $ x $，$ y $ 满足 $ |x - y| = 5 $，则称点 $ P(x,y) $ 为“平衡点”。例如，对于点 $ (1,6) $，因为 $ |1 - 6| = 5 $，所以点 $ (1,6) $ 是“平衡点”。已知一次函数 $ y = 3x + k $($ k $ 为常数)图象上有一个“平衡点”的坐标是 $ (3,8) $，则一次函数 $ y = 3x + k $($ k $ 为常数)图象上另一“平衡点”的坐标是$(-2,-7)$。

答案： 5.$(-2,-7)$

6. [2024 秋·威海期末]如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = \frac{3}{5}x - 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，将 $ \triangle AOB $ 沿 $ x $ 轴向左平移 2 个单位长度得到 $ \triangle A'O'B' $，则图中阴影部分的面积为$\frac{24}{5}$。

答案： 6.$\frac{24}{5}$

7. (模型观念)已知点 $ P(x,y) $ 在第一象限，且 $ x + y = 8 $，点 $ A $ 的坐标为 $ (6,0) $，设 $ \triangle OPA $ 的面积为 $ S $。
(1)用含 $ x $ 的表达式表示 $ S $，写出 $ x $ 的取值范围，画出函数 $ S $ 的图象。
(2)当点 $ P $ 的横坐标为 5 时，$ \triangle OPA $ 的面积为多少?
(3)$ \triangle OPA $ 的面积能大于 24 吗? 为什么?

答案： $(1)$ 用含$x$的表达式表示$S$，写出$x$的取值范围
- 解：已知点$A(6,0)$，则$OA = 6$。
因为点$P(x,y)$在第一象限，且$x + y = 8$，所以$y = 8 - x$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle OPA$，以$OA$为底，$P$点纵坐标$y$为高，则$S=\frac{1}{2}× OA× y$。
把$OA = 6$，$y = 8 - x$代入可得：$S=\frac{1}{2}×6×(8 - x)=24 - 3x$。
由于点$P(x,y)$在第一象限，所以$x\gt0$，$y=8 - x\gt0$，即$8 - x\gt0$，解得$x\lt8$。
所以$x$的取值范围是$0\lt x\lt8$。
$(2)$ 当点$P$的横坐标为$5$时，求$\triangle OPA$的面积
- 解：当$x = 5$时，把$x = 5$代入$S = 24 - 3x$中，得$S=24 - 3×5=24 - 15 = 9$。
$(3)$ 判断$\triangle OPA$的面积能否大于$24$
- 解：$\triangle OPA$的面积不能大于$24$。
因为$S = 24 - 3x$，$k=-3\lt0$，$S$随$x$的增大而减小，又因为$0\lt x\lt8$。
当$x = 0$时，$S$取得最大值$S_{max}=24 - 3×0 = 24$（此时$x = 0$，$P$点不在第一象限，取不到这个值），所以$S\lt24$，即$\triangle OPA$的面积不能大于$24$。
综上，答案依次为：$(1)$$S = 24 - 3x$，$0\lt x\lt8$；$(2)$$9$；$(3)$不能，因为$S = 24 - 3x$，$k=-3\lt0$，$S$随$x$的增大而减小，且$0\lt x\lt8$，$S\lt24$。