《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

1. 积与商的算术平方根的性质
积的算术平方根：$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \geq 0, b \geq 0)$；
商的算术平方根：$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \geq 0, b ＞ 0)$。
注意：运用商的算术平方根的性质必须注意条件$a\geqslant0$，$b＞0$。特别注意$b = 0$时，分式的分母为$0$，无意义。
2. 最简二次根式
概念：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
3. 二次根式的加减
意义：二次根式的加减运算就是将被开方数相同的二次根式合并。
特别提示：二次根式的加减分两个步骤：第一，化为最简二次根式；第二，合并被开方数相同的二次根式。
注意：被开方数不相同的二次根式不能合并，如$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不能合并。

答案： 1. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \geq 0, b \geq 0)$ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \geq 0, b ＞ 0)$

例1 化简：
(1)$\sqrt{49×121}$；
(2)$\sqrt{1000}$；
(3)$\sqrt{4a}(a\geqslant0)$；
(4)$\sqrt{200a^{5}b^{4}c^{3}}(a\geqslant0,b\geqslant0,c\geqslant0)$。

答案：
(1) $7\sqrt{7}$
(2) $10\sqrt{10}$
(3) $2\sqrt{a}$
(4) $10a^2b^2c\sqrt{2ac}$

例2 化简：
(1)$\sqrt{\dfrac{9}{64}}$； (2)$\sqrt{\dfrac{-25}{-9}}$；
(3)$\sqrt{2\dfrac{23}{49}}$； (4)$\sqrt{\dfrac{27a^{3}}{4b^{2}}}(a\geqslant0,b＞0)$。

答案：
(1) $\frac{3}{8}$
(2) $\frac{5}{3}$
(3) $\frac{11}{7}$
(4) $\frac{3a\sqrt{3a}}{2b}$

例3 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{32}$；(2)$\sqrt{40}$；(3)$\sqrt{1.5}$；(4)$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$。

答案：
(1) $4\sqrt{2}$
(2) $2\sqrt{10}$
(3) $\frac{\sqrt{6}}{2}$
(4) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

例4 计算：
(1)$\sqrt{18}+\sqrt{12}-\sqrt{8}-\sqrt{27}$；
(2)$(\sqrt{45}+\sqrt{27})-(\sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{125})$；
(3)$\dfrac{3}{4}×(\sqrt{2}-\sqrt{27})-\dfrac{1}{2}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})$。

答案：
(1) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$。
(2) $\frac{7\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{5}$
(3) $\frac{5\sqrt{2}}{4} - \frac{11\sqrt{3}}{4}$