《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

例1 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$BC \perp AB$，$AD = 5$，$CD = 3$，$BC = 4$。
(1)在原图中建立适当的平面直角坐标系，并写出各顶点的坐标；
(2)在(1)的基础上，分别写出线段 $CD$ 和 $AD$ 上任意一点的坐标。

答案：

(1)以点$A$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。

$\because BC \perp AB$，$CD = 3$，$BC = 4$，$\therefore$点$C$坐标为$(x, 4)$，点$D$坐标为$(x - 3, 4)$（$x$为点$B$的横坐标）。

$\because AD = 5$，点$A(0, 0)$，点$D(x - 3, 4)$，$\therefore \sqrt{(x - 3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = 5$，解得$x - 3 = 3$（负值舍去），$\therefore x = 6$。

各顶点坐标：$A(0, 0)$，$B(6, 0)$，$C(6, 4)$，$D(3, 4)$。

(2)线段$CD$上任意一点坐标：$(x, 4)$，其中$3 \leq x \leq 6$。

线段$AD$上任意一点坐标：设$AD$所在直线解析式为$y = kx$，将$D(3, 4)$代入得$k = \frac{4}{3}$，$\therefore y = \frac{4}{3}x$，故坐标为$(x, \frac{4}{3}x)$，其中$0 \leq x \leq 3$。

例2 对于边长为 $6$ 的等边三角形 $ABC$。
(1)建立适当的平面直角坐标系，写出各顶点的坐标；
(2)求$\triangle ABC$ 的面积。

答案： 1. （1）
以$BC$边所在直线为$x$轴，$BC$边的垂直平分线为$y$轴建立平面直角坐标系。
因为$\triangle ABC$是边长为$a = 6$的等边三角形，$BO=CO=\frac{1}{2}BC$，所以$BO = CO=3$。
根据勾股定理$AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}$，已知$AB = 6$，$BO = 3$，则$AO=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
所以$A(0,3\sqrt{3})$，$B(-3,0)$，$C(3,0)$。
2. （2）
解：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$。
对于$\triangle ABC$，底$BC = 6$，高$AO = 3\sqrt{3}$。
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AO$。
把$BC = 6$，$AO = 3\sqrt{3}$代入公式得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
综上，（1）$A(0,3\sqrt{3})$，$B(-3,0)$，$C(3,0)$；（2）$9\sqrt{3}$。

例3 [2024春·长沙期中]如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为 $x$ 轴的正方向，以正北方向为 $y$ 轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是$(-4,-1)$和$(1,2)$，那么食堂的坐标是(B)


A.$(3,5)$
B.$(-2,3)$
C.$(2,4)$
D.$(-1,2)$

答案： 【例3】B

1. [2023·自贡]如图，边长为 $3$ 的正方形 $OBCD$ 两边与坐标轴正半轴重合，则点 $C$ 的坐标是(C)


A.$(3,-3)$
B.$(-3,3)$
C.$(3,3)$
D.$(-3,-3)$

答案： 1.C

2. [2024春·沈阳期末]围棋起源于中国古代，是世界上最古老的棋类游戏之一。如图是某围棋棋盘的局部示意图，若棋盘是由边长均为 $1$ 的小正方形组成的，棋盘上 $A$，$B$ 两颗棋子的坐标分别为 $A(-2,4)$，$B(1,2)$，则棋子 $D$ 的坐标为(C)


A.$(2,2)$
B.$(-1,-2)$
C.$(-2,-1)$
D.$(2,1)$

答案： 2.C