《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册北师大版》

14. [2024 秋·沈阳月考]如图 1,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,直线$l_2:y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$交$x$轴于点$C$,交$y$轴于点$D$,直线$l_1$与直线$l_2$相交于点$M(\frac{3}{4},a)$。
(1)求点$M$的坐标和直线$l_2$的函数表达式。
(2)如图 2,点$G(t,0)$为$x$轴上动点,过点$G$作$GE // y$轴,交$l_1$于点$E$,交$l_2$于点$F$。
①当$t = 4$时,$\triangle EMC$的面积为$\frac{91\sqrt{3}}{8}$;
②当$EF = 3FG$时,$t$的值为-15或3;
③当点$E$在点$F$上方时,$y$轴上存在动点$N$,使$\triangle EFN$是等腰直角三角形,求$t$的值。

答案： 14.
(1)点M的坐标为$(\frac{3}{4},\frac{7\sqrt{3}}{4})$，
直线$l_2$的函数表达式为$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2\sqrt{3}$。
(2)①$\frac{91\sqrt{3}}{8}$ ② -15或3 ③$\frac{12 + 3\sqrt{3}}{13}$或$\frac{6 + 3\sqrt{3}}{2}$