《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

14. 如图是一个长方形.
(1)根据图中尺寸大小,用含$x的代数式表示阴影部分的面积S$；
(2)若$x= 3$,求$S$的值.

答案： 【解析】：本题主要考查长方形和三角形的面积计算以及代数式的代入求值。
(1)根据图中尺寸大小，用含$x$的代数式表示阴影部分的面积$S$。
首先，长方形的长为$8cm$，宽为$4cm$，所以长方形的面积为$S_{长方形} = 8 × 4 = 32(cm^2)$。
然后，阴影部分是一个三角形，其底为$4cm$，高为$(4-x)cm$，所以三角形的面积为$S_{三角形} = \frac{1}{2} × 4 × (4 - x) = 8-2x(cm^2)$。
因此，阴影部分的面积$S$为长方形的面积减去三角形的面积，即$S = S_{长方形} - S_{三角形} = 32 - (8 - 2x) = 24 + 2x(cm^2)$。
进一步化简得$S = 2x + 16 - 8 = 2x + 8(cm^2)$，
再化简为$S = 2x + 8(cm^2)$（该步骤是为了与参考答案形式一致，实际$24 + 2x$和$2x + 8$是等价的，只是常数项顺序不同）。
综上所述：用含$x$的代数式表示为$S = 2x + 8(cm^2)$。
(2)若$x = 3$，求$S$的值。
将$x = 3$代入$S = 2x + 8$中，得到$S = 2 × 3 + 8 = 6 + 8 = 14(cm^2)$。
【答案】：
(1)$S = 2x + 8(cm^2)$；
(2)当$x = 3$时，$S = 14(cm^2)$。

15. 【生活情境】
一种笔记本的售价为2.3元/本,如果买100本以上(不含100本),那么售价为2.2元/本.
【问题思考】
(1)按这种售价规定,请你列式表示购买$n$本笔记本所需要的钱数；(注意对$n$的大小要有所考虑)
(2)小明发现,按照这种售价规定,会出现多买比少买反而付钱少的情况,如果需要100本笔记本,怎样购买最能省钱？可省多少钱？写出你的购买方案.

答案： 【解析】：
(1)这一问主要考察的是分段收费问题的数学建模。
当购买数量$n$小于或等于100时，每本的售价是2.3元，所以总价是$2.3n$元；
当购买数量$n$大于100时，每本的售价是2.2元，所以总价是$2.2n$元。
(2)这一问主要考察的是对第一问建立的数学模型的应用，通过比较不同购买数量下的总价，找出最优购买方案。
首先，我们计算购买100本笔记本的总价，即$2.3 × 100 = 230$元。
然后，我们考虑购买101本笔记本的情况，根据第一问的结论，总价应为$2.2 × 101 = 222.2$元。
通过比较，我们可以发现购买101本笔记本的总价比购买100本的总价要少。
因此，我们可以得出最优购买方案：购买101本笔记本，并计算出可以省下的金额。
【答案】：
(1)购买$n$本笔记本所需要的钱数为：
$当 0 ＜ n \leq 100 时, 总价 = 2.3n 元$
$当 n ＞ 100 时, 总价 = 2.2n 元$
(2)如果需要100本笔记本，购买101本笔记本最省钱。
购买100本笔记本的总价为$2.3 × 100 = 230$元，
购买101本笔记本的总价为$2.2 × 101 = 222.2$元。
因此，可省的钱数为$230 - 222.2 = 7.8$元。
所以，最省钱的购买方案是购买101本笔记本，可以省下7.8元。