《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

(1)两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系；
(2)如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的乘积(k是一个确定的值,且$k\neq0$),反比例关系可以用$xy = k$（$k$为常数，$k \neq 0$）来表示.

答案： 【解析】：
这道题目考查的是反比例关系的概念。
(1) 两个相关联的量，当其中一个量变化时，另一个量也会随之变化，如果这两个量的乘积是一个定值（即一定），那么这两个量就被称为成反比例的量，它们之间的关系被称为反比例关系。
(2) 如果用$x$和$y$表示两个相关联的量，用$k$表示它们的乘积（$k$是一个确定且不为0的值），那么反比例关系可以用数学表达式$xy = k$（其中$k$为常数，$k \neq 0$）来表示。
【答案】：
(1) 乘积；反比例关系
(2) 乘积；$xy = k$（$k$为常数，$k \neq 0$）

【例题】下列相关联的量中,成反比例关系的是(A).
A.平行四边形的面积一定,底与高
B.圆的周长与面积
C.正方形的周长与边长
D.圆柱的体积一定,圆柱的底面圆的半径与高

答案： 【解析】：
本题考察的是对于比例关系的理解，特别是反比例关系的判断。
反比例关系是指两个量中，一个量增大时，另一个量减小，而它们的乘积保持为一个常数（不为0）。
A选项：平行四边形的面积一定，底与高。设平行四边形的面积为S，底为b，高为h，则有$S = b × h$。当S一定时，b和h成反比例关系，因为b增大时，h必须减小以保持S不变。
B选项：圆的周长与面积。圆的周长为$2\pi r$，面积为$\pi r^2$。这两个量之间不存在反比例关系，因为它们的比值和乘积都不是常数。
C选项：正方形的周长与边长。正方形的周长为$4a$，边长为a。周长与边长之间是正比例关系，不是反比例关系。
D选项：圆柱的体积一定，圆柱的底面圆的半径与高。设圆柱的体积为V，底面半径为r，高为h，则有$V = \pi r^2 h$。当V一定时，r和h之间不是反比例关系，因为r增大时，h减小的速度不是与r的增大速度成反比（而是与$r^2$成反比）。
综上所述，只有A选项中的两个量成反比例关系。
【答案】：
A

【变式】下列式子中,y与x成反比例关系的是(B).
A.$y= 2x$
B.$xy= 1$
C.$y= 2x-1$
D.$x^{2}y= 5$

答案： 【解析】：
这个问题考察的是比例关系的判断。
我们需要判断y与x之间是正比例关系还是反比例关系，或者不成比例。
首先，我们要明确什么是正比例关系和反比例关系：
1. 如果两个量的比值一定，那么这两个量成正比例。
2. 如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例。
接下来，我们逐一检查选项：
A. $y = 2x$
这是一个正比例关系，因为y和x的比值是常数2。
B. $xy = 1$
这是一个反比例关系，因为y和x的乘积是常数1。
C. $y = 2x - 1$
这不是一个正比例或反比例关系，因为y和x之间没有固定的比值或乘积。
D. $x^2y = 5$
这不是一个正比例或反比例关系，因为y和x之间没有固定的比值或乘积（x的平方与y的乘积是常数，但x与y的比值和乘积都不是常数）。
因此，只有选项B表示y与x成反比例关系。
【答案】：
B

从表中可知行驶的路程和行驶的时间(A).
A.成正比例关系
B.成反比例关系
C.不成比例
D.不确定

答案： 解：计算路程与时间的比值：
180÷2=90，
360÷4=90，
630÷7=90。
因为路程与时间的比值均为90（一定），所以行驶的路程和行驶的时间成正比例关系。
答案：A

2. 下列式子中x,y均不为0,则x和y成正比例关系的是(A).
A.$x÷ y= 3.14$
B.$x= 2.1÷ y$
C.$x= y+2023$
D.$xy= 3.14$

答案： 【解析】：
这个问题考察的是正比例关系的定义。
正比例关系意味着两个变量x和y之间的关系可以表示为y=kx（k为非零常数），也就是说，当一个变量增加时，另一个变量也按照相同的比例增加。
也可以表述为两个变量的比值是一个常数（k），即x/y = k或者y/x = k（k为非零常数）。
现在我们来逐一分析每个选项：
A. $x ÷ y = 3.14$
这个式子可以改写为$x = 3.14y$，可以看出x和y的比值是一个常数3.14，满足正比例关系的定义。
B. $x = 2.1 ÷ y$
这个式子表示x是y的倒数的一个固定倍数，这是反比例关系，不是正比例关系。
C. $x = y + 2023$
这个式子表示x是y加上一个常数2023，这是一个线性关系，但不是正比例关系，因为当y为0时，x不为0。
D. $xy = 3.14$
这个式子表示x和y的乘积是一个常数，这是反比例关系的一种形式，不是正比例关系。
综上所述，只有选项A表示x和y成正比例关系。
【答案】：
A

3. 如果$ab= 8$,那么a与b成反比例关系；如果$5x-7y= 0$(x,y均不为0),那么x与y成正比例关系.

答案： 【解析】：
本题主要考察比例关系的判断。
对于第一组数$a$和$b$，已知$ab = 8$，需要判断$a$和$b$之间的比例关系。
根据反比例关系的定义，如果两个变量的乘积是常数（且这两个变量都不为0），则这两个变量成反比例关系。
因此，由$ab = 8$，可以判断$a$和$b$成反比例关系。
对于第二组数$x$和$y$，已知$5x - 7y = 0$（且$x, y$均不为0），需要判断$x$和$y$之间的比例关系。
根据正比例关系的定义，如果两个变量的比值是常数（且这两个变量都不为0），则这两个变量成正比例关系。
由$5x - 7y = 0$，可以得到$5x = 7y$，进一步得到$\frac{x}{y} = \frac{7}{5}$，这是一个常数，因此$x$和$y$成正比例关系。
【答案】：
反；正

4. 根据表格填一填.
| x | 4 | 8 |
| y | 20 | m |

(1)若x和y成正比例关系,则$m=$40；
(2)若x和y成反比例关系,则$m=$10.

答案：
(1)解：因为x和y成正比例关系，所以$\frac{y}{x}=k$（k为常数）。
当$x=4$，$y=20$时，$k=\frac{20}{4}=5$。
当$x=8$时，$y=k× x=5×8=40$，故$m=40$。
(2)解：因为x和y成反比例关系，所以$x× y=k$（k为常数）。
当$x=4$，$y=20$时，$k=4×20=80$。
当$x=8$时，$y=\frac{k}{x}=\frac{80}{8}=10$，故$m=10$。

1. 下列各选项中的两个量,成正比例关系的是(D).
A.圆的半径和面积
B.一个人的身高和他的年龄
C.路程一定,速度和时间
D.已知$5y= x$,y和x

答案： 【解析】：
本题主要考察正比例关系的定义及判断。正比例关系是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
A选项，圆的面积等于π乘以半径的平方，所以圆的面积与半径的比值不是常数，因此圆的半径和面积不成正比例关系。
B选项，一个人的身高和他的年龄之间并没有固定的比值关系，随着年龄的增长，身高的增长速度并不是恒定的，因此一个人的身高和他的年龄不成正比例关系。
C选项，在路程一定的情况下，速度和时间成反比关系，即速度增加，时间减少，所以速度和时间不成正比例关系。
D选项，已知$5y= x$，可以转化为$y=\frac{x}{5}$，表示$y$和$x$的比值是常数$\frac{1}{5}$，满足正比例关系的定义。
【答案】：
D

2. x,y是两个相关联的量,下列式子中,x,y成正比例关系的是(A).
A.$y= \frac{6}{11}x$
B.$\frac{x}{12}= \frac{1}{y}$
C.$x+y= 10$
D.$xy= 5$

答案： 解：两种相关联的量，若它们的比值一定，则成正比例关系。
A. $y = \frac{6}{11}x$可变形为$\frac{y}{x} = \frac{6}{11}$，比值一定，x，y成正比例关系。
B. $\frac{x}{12} = \frac{1}{y}$可变形为$xy = 12$，乘积一定，x，y成反比例关系，不成正比例关系。
C. $x + y = 10$，和一定，x，y不成比例关系。
D. $xy = 5$，乘积一定，x，y成反比例关系，不成正比例关系。
结论：A

3. 某数学报的单价一定,订阅该报的总价与份数(B).
A.成反比例关系
B.成正比例关系
C.不成比例
D.无法确定关系

答案： 解：因为总价÷份数=单价（一定），即两种相关联的量的比值一定，所以订阅该报的总价与份数成正比例关系。
答案：B