《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

3. 已知某超市酸奶的定价为20元/箱,玻璃杯的定价为5元/个. 该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案,如表所示. 现某顾客需要购买40箱酸奶和x个(x＞40)玻璃杯.

(1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用；
(2)当x= 100时,请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱；
(3)当购买多少个玻璃杯时,上述这两种方案的花费一样多？

答案： 【解析】：
本题主要考查分段计费问题与方案选择问题，需要根据两种优惠方案分别列出购买费用公式，再进行计算和比较。
对于方案一，酸奶和玻璃杯都按九折优惠，所以购买$40$箱酸奶和$x$个玻璃杯的费用为$0.9×(20×40 + 5x)$。
对于方案二，购买一箱酸奶赠送一个玻璃杯，所以购买$40$箱酸奶会赠送$40$个玻璃杯，实际需要购买的玻璃杯数量为$(x - 40)$个，费用为$20×40 + 5×(x - 40)$。
分别将$x = 100$代入两种方案的费用公式，计算出各自的费用并进行比较。
令两种方案的费用相等，解出$x$的值。
【答案】：
(1)方案一：根据方案一的优惠方式，购买$40$箱酸奶的费用为$20×40$元，购买$x$个玻璃杯的费用为$5x$元，所以总费用为$(20×40 + 5x)$元，再按九折优惠，即$0.9×(20×40 + 5x)=(720 + 4.5x)$元。
方案二：购买$40$箱酸奶的费用为$20×40$元，购买一箱酸奶赠送一个玻璃杯，所以购买$40$箱酸奶会赠送$40$个玻璃杯，实际需要购买的玻璃杯数量为$(x - 40)$个，费用为$5×(x - 40)$元，所以总费用为$(20×40 + 5×(x - 40))=(600 + 5x)$元。
综上，方案一购买所需费用为$(720 + 4.5x)$元；方案二购买所需费用为$(600 + 5x)$元。
(2)当$x = 100$时，
方案一的费用为：$720 + 4.5×100 = 720 + 450 = 1170$（元）；
方案二的费用为：$600 + 5×100 = 600 + 500 = 1100$（元）。
因为$1170＞1100$，所以该顾客按方案二购买更省钱。
(3)令两种方案的费用相等，即$720 + 4.5x = 600 + 5x$，
移项可得：$5x - 4.5x = 720 - 600$，
合并同类项可得：$0.5x = 120$，
解得$x = 240$。
综上，当购买$240$个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多。

4. 某商场举行促销活动,有两种优惠办法：第一种,顾客所购买商品一律按九折优惠；第二种,采取“满一百元送十元,并且连环赠送”的酬宾方式,即顾客消费每满100元(100元可以是现金,也可以是购物券,或二者合计)就送10元购物券,满200元就送20元购物券……依此类推. 现有甲、乙两位顾客,甲顾客选择第一种优惠办法,共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法,第一次就付了10000元购物,并用所得购物券继续购物. 按所享受的折扣算,享受折扣更优惠的是(B).
A.甲、乙一样
B.甲
C.乙
D.无法比较

答案： 解：
甲顾客：
按九折优惠，付费10000元，
实际购物价值：$10000 ÷ 0.9 \approx 11111.11$元。
乙顾客：
第一次付10000元现金，得购物券：$10000 ÷ 100 × 10 = 1000$元；
用1000元购物券购物，得购物券：$1000 ÷ 100 × 10 = 100$元；
用100元购物券购物，得购物券：$100 ÷ 100 × 10 = 10$元；
10元购物券不足100元，无法再得购物券。
总购物价值：$10000 + 1000 + 100 + 10 = 11110$元。
比较折扣：
甲购物价值≈11111.11元 ＞ 乙11110元，
甲享受折扣更优惠。
答案：B

5. 某城市按以下规定收取每月煤气费：使用煤气如果不超过$60 m^3,$按每立方米0.8元收费；如果超过$60 m^3,$超过部分按每立方米1.2元收费. 已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元,那么4月份该用户应缴煤气费(B).
A.60元
B.66元
C.75元
D.78元

答案： 【解析】：
本题主要考查分段计费问题，需要理解并应用分段计费的规则来求解。
首先，我们设4月份该用户使用煤气$x m^3$。
根据题目，如果煤气使用量不超过$60m^3$，则费用为$0.8x$元；
如果超过$60m^3$，则前$60m^3$的费用为$60 × 0.8 = 48$元，超过部分的费用为$1.2(x - 60)$元。
题目中给出4月份的煤气费平均每立方米为0.88元，因此总费用也可以表示为$0.88x$元。
由于平均费用超过了0.8元/立方米，我们可以推断出使用量一定超过了$60m^3$。
因此，我们可以建立方程来表示总费用：
$60 × 0.8 + 1.2(x - 60) = 0.88x$
解这个方程，我们得到：
$48 + 1.2x - 72 = 0.88x$
$0.32x = 24$
$x = 75$
所以，4月份该用户使用了$75m^3$的煤气。
最后，我们计算应缴的煤气费：
$75 × 0.88 = 66$（元）
【答案】：B. 66元。

6.(运算能力、应用意识)为了美化环境,某社区需要进行绿化改造. 现有甲、乙两个绿化工程队可供选择,已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多$200 m^2,$甲队与乙队合作一天能完成$800 m^2$的绿化改造面积.
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有$12000 m^2,$甲队每天的施工费用为600元,乙队每天的施工费用为400元,比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成. 哪一种方案的施工费用最少？

答案：
(1)解：设乙队每天能完成$x m^2$的绿化改造面积，则甲队每天能完成$(x + 200)m^2$。
由题意得：$x + (x + 200) = 800$
解得：$x = 300$
$x + 200 = 300 + 200 = 500$
答：甲队每天能完成$500 m^2$，乙队每天能完成$300 m^2$。
(2)解：方案①：甲队单独完成所需时间为$12000÷500 = 24$（天），费用为$24×600 = 14400$（元）
方案②：乙队单独完成所需时间为$12000÷300 = 40$（天），费用为$40×400 = 16000$（元）
方案③：甲、乙两队合作每天完成$800 m^2$，所需时间为$12000÷800 = 15$（天），费用为$15×(600 + 400) = 15×1000 = 15000$（元）
因为$14400＜15000＜16000$
答：方案①的施工费用最少。