《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

【例2】观察下列每组数,在横线上填上适当的数.
(1)1,9,25,49,81,121；
(2)$\frac{2}{3},\frac{3}{9},\frac{4}{27}$,$\frac{5}{81}$,$\frac{6}{243}$；
(3)4,-16,64,-256,1024；
(4)2,8,26,80,242.

答案：
(1) 81, 121
(2) $\frac{5}{81}$, $\frac{6}{243}$
(3) -256, 1024
(4) 80, 242

【变式2】观察下列算式:$7^1= 7,7^2= 49,7^3= 343,7^4= 2401,7^5= 16807,…$,用你所发现的规律确定,$7^{15}$的个位数字是(B).
A.1
B.3
C.9
D.7

答案： 解：观察算式可得，7的幂次的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现。
周期长度为4。
15÷4=3……3，其中余数为3。
所以$7^15$的个位数字与$7^3$的个位数字相同，$7^3$的个位数字是3。
答案：B

【变式3】[新定义]规定“g”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：
(1)$g(1)= 2,g(2)= -3,g(3)= 4,g(4)= -5,…$.
(2)$g\left(\frac{1}{2}\right)= 1,g\left(\frac{1}{3}\right)= 2,g\left(\frac{1}{4}\right)= 3,g\left(\frac{1}{5}\right)= 4,…$.
①利用以上规律计算:$g\left(\frac{1}{2023}\right)-g(2023)= $-2；
②根据(1)的规律可得$g(n)= $$(-1)^{n+1}(n + 1)$(n为正整数).

答案： 【解析】：
本题主要考察对新定义运算的理解以及规律的寻找和代数表达式的推导。
首先，观察给出的数列，可以发现两个明显的规律：
当输入为正整数$n$时，$g(n) = (-1)^{n+1}(n+1)$，即正整数输入时，运算结果是输入值的相反数再加1，并且符号交替出现；
当输入为形如$\frac{1}{n}$（$n$为正整数）的分数时，$g\left(\frac{1}{n}\right) = n-1$，即分数输入时，运算结果是分母减1。
利用这两个规律，可以计算出：
$g\left(\frac{1}{2023}\right) = 2023 - 1 = 2022$（根据规律2）；
$g(2023) = (-1)^{2023+1}(2023+1) = 2024 × (-1)^{偶数} = -2024的相反数，即2024 × 1 = 2024$ 再取相反数的相反数，也就是-(-2024)=2024的简化结果为-2024（根据规律1，注意2023+1为偶数，所以符号为正后再取相反数）；
所以，$g\left(\frac{1}{2023}\right) - g(2023) = 2022 - 2024 = -2$。
对于第二问，根据规律1，可以推导出$g(n)$的通项公式为$g(n) = (-1)^{n+1}(n+1)$，其中$n$为正整数。
【答案】：
① $g\left(\frac{1}{2023}\right) - g(2023) = -2$；
② $g(n) = (-1)^{n+1}(n + 1)$（$n$为正整数）。

1.计算:$\left(-\frac{1}{2}\right)^2-1$等于(B).
A.$-\frac{5}{4}$
B.$-\frac{3}{4}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.0

答案： 解：$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1$
$=\frac{1}{4} - 1$
$=-\frac{3}{4}$
答案：B

2.下列各式中,计算正确的是(D).
A.$(-5.8)-(-5.8)= -11.6$
B.$-4^2÷\frac{1}{4}×4= -16$
C.$-2^3×(-3)^2= 72$
D.$(-5)^2+4×(-5)= 5$

答案： 解：
A. $(-5.8)-(-5.8)=-5.8+5.8=0$，故A错误；
B. $-4^2÷\frac{1}{4}×4=-16×4×4=-256$，故B错误；
C. $-2^3×(-3)^2=-8×9=-72$，故C错误；
D. $(-5)^2+4×(-5)=25-20=5$，故D正确。
结论：D

3.计算:$(-2)^3+\frac{1}{2}×8=$-4.

答案： 解：$(-2)^3+\frac{1}{2}×8$
$=-8 + 4$
$=-4$

4.计算：
(1)$(-6)^2×\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)$；
(2)$2×(-3)+18×\left(\frac{1}{3}\right)^2-(-1)^{2025}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查有理数的混合运算，包括乘方、乘法、减法和加法等运算。
(1) 对于第一个表达式，首先计算乘方，然后计算括号内的减法，最后进行乘法。
(2) 对于第二个表达式，首先分别计算各项的乘方、乘法和加减法，然后按照运算优先级进行计算。
【答案】：
(1)
解：
$(-6)^2×\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)$
$= 36 × \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)$
$= 36 × \frac{1}{6}$
$= 6$
(2)
解：
$2×(-3)+18×\left(\frac{1}{3}\right)^2-(-1)^{2025}$
$= -6 + 18 × \frac{1}{9} - (-1)$
$= -6 + 2 + 1$
$= -3$

1.在有理数$-(-3),-3^2,-\left|-\frac{1}{2}\right|,(-5)^2,(-1)^7,-\left[-\left(-\frac{2}{3}\right)\right]$中,负数有(C).
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： 【解析】：
题目要求判断在给定的有理数中，负数有多少个。
首先，需要逐一计算每个有理数的值：
$-(-3)$：根据负负得正的规则，$-(-3) = 3$，是正数。
$-3^2$：注意运算顺序，先进行乘方运算，再进行取反，$-3^2 = -(3 × 3) = -9$，是负数。
$-\left|-\frac{1}{2}\right|$：绝对值表示数的“大小”，不考虑正负，所以$\left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$，再取反得$-\frac{1}{2}$，是负数。
$(-5)^2$：乘方运算，$(-5)^2 = (-5) × (-5) = 25$，是正数。
$(-1)^7$：奇数次方的负数结果仍为负数，$(-1)^7 = -1$，是负数。
$-\left[-\left(-\frac{2}{3}\right)\right]$：内层括号得$\frac{2}{3}$，再取反得$-\frac{2}{3}$，但最外层还有一层取反，所以最终结果为$-\left(-\frac{2}{3}\right)的相反数=-\frac{2}{3}$，是负数。
然后，统计负数的个数，有$-3^2, -\left|-\frac{1}{2}\right|, (-1)^7,-\left[-\left(-\frac{2}{3}\right)\right]$共4个。
【答案】：
C. 4个。

2.下列各式中,计算正确的是(D).
A.$-2^2÷(-2)^2= 1$
B.$-1-\left(-\frac{1}{3}\right)^3= -1\frac{1}{27}$
C.$-5÷\frac{1}{3}×\frac{3}{5}= -25$
D.$3\frac{1}{4}×(-3.25)-6\frac{3}{4}×3.25= -32.5$

答案： 解：A. $-2^2÷(-2)^2=-4÷4=-1$，故A错误；
B. $-1-\left(-\frac{1}{3}\right)^3=-1-\left(-\frac{1}{27}\right)=-1+\frac{1}{27}=-\frac{26}{27}$，故B错误；
C. $-5÷\frac{1}{3}×\frac{3}{5}=-5×3×\frac{3}{5}=-9$，故C错误；
D. $3\frac{1}{4}×(-3.25)-6\frac{3}{4}×3.25=3.25×(-3.25)-6.75×3.25=3.25×(-3.25-6.75)=3.25×(-10)=-32.5$，故D正确。
答案：D