《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

【变式2】A,B两城相距100 km,甲、乙分别从A,B两地出发相向而行,甲的速度是每小时10 km,乙的速度是每小时15 km,两人第一次迎面相遇的地点距离A地______ km.
40

答案： 解：设两人经过 $ t $ 小时第一次迎面相遇。
根据题意，得 $ 10t + 15t = 100 $
解得 $ t = 4 $
相遇地点距离A地：$ 10 × 4 = 40 $（km）
答：40

1. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一条公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地. 设A,B两地之间的路程是x km,由题意可列方程(C).
A.$70x - 60x = 1$
B.$60x - 70x = 1$
C.$\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = 1$
D.$\frac{x}{70} - \frac{x}{60} = 1$

答案： 解：根据时间=路程÷速度，客车从A地到B地所用时间为$\frac{x}{70}$h，卡车从A地到B地所用时间为$\frac{x}{60}$h。
因为客车比卡车早1h经过B地，所以卡车所用时间比客车多1h，可列方程：$\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = 1$。
答案：C

2. 一艘轮船在A,B两地之间航行,顺水航行需要3 h,逆水航行需要5 h. 已知该轮船在静水中的速度是12 km/h,A,B两地之间的距离为45km.

答案： 解：设水流速度为$x$km/h。
顺水速度为$(12 + x)$km/h，逆水速度为$(12 - x)$km/h。
根据A、B两地距离不变，可列方程：$3(12 + x) = 5(12 - x)$
解得：$x = 3$
A、B两地距离为$3×(12 + 3) = 45$km。
45

3. 有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个湖泊行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙相背而行,甲每分钟走40 m,乙每分钟走38 m,丙每分钟走35 m. 在途中,甲和乙相遇后3 min和丙相遇. 问：这个湖泊的周长是多少米？

答案： 【解析】：
本题主要考查相遇问题，此题是一个环形跑道上的相遇问题，存在二次相遇的问题。
第一次甲和乙相遇之后，甲和丙又走了一段时间才相遇，在此我们可以求出第一次甲和乙相遇时，甲和丙之间的距离。
这个距离就是甲和丙在3分钟内所走的距离之和，即$(40+35) × 3 = 225m$。
当甲和乙相遇时，乙和丙之间的距离就是225m，这是因为乙和丙同向行走，且乙的速度比丙快，所以它们之间的距离会逐渐增大。
乙每分钟比丙多走$38-35=3m$，所以乙和丙之间的距离达到225m需要的时间是$225 ÷ 3 = 75$分钟，这就是甲和乙相遇的时间。
最后我们可以根据甲和乙的速度和时间求出湖泊的周长，即$(40+38) × 75 = 5850m$。
【答案】：
解：
甲和乙相遇后，甲和丙相遇的时间为$3$分钟，所以甲和丙在$3$分钟内所走的距离之和为：
$(40+35) × 3 = 225 m$
乙每分钟比丙多走的距离为：
$38-35=3 m$
所以，甲和乙相遇的时间为：
$225 ÷ 3 = 75 分钟$
根据甲和乙的速度和时间，我们可以求出湖泊的周长为：
$(40+38) × 75 = 5850 m$
答：这个湖泊的周长是$5850$米。

4. 一架飞机在两城之间飞行,无风时的飞行速度为552 km/h,在一次往返飞行中,顺风飞行用了5.5 h,逆风飞行用了6 h. 求：
(1)这次飞行时的风速；
(2)两城之间的航程.

答案： 【解析】：
本题考查的是行程问题中路程，速度和时间的关系，需要利用速度、时间和距离之间的关系来建立方程求解。
设风速为$x$ km/h，
顺风时，飞机的实际速度是飞机速度加上风速，即$552 + x$ km/h；
逆风时，飞机的实际速度是飞机速度减去风速，即$552 - x$ km/h。
根据路程=速度×时间，
顺风飞行时的路程为$(552 + x) × 5.5$，
逆风飞行时的路程为$(552 - x) × 6$，
由于往返飞行的路程是相等的，可以得到方程：
$(552 + x) × 5.5 = (552 - x) × 6$
解这个方程，可以得到风速$x$，
得到顺风和逆风时的实际速度后，可以通过速度乘以时间得到两城之间的航程。
【答案】：
(1)设这次飞行时的风速为$x$ km/h，
根据题意，得：
$(552 + x) × 5.5 = (552 - x) × 6$
$3036+5.5x=3312-6x$
$5.5x+6x=3312-3036$
$11.5x=276$
$x=24$
所以这次飞行时的风速为$24$ km/h。
(2)两城之间的航程可以通过顺风或逆风时的速度和时间来计算，
即$(552 + 24) × 5.5 = 3168(km)$，
或$(552 - 24) × 6 = 3168(km)$，
所以两城之间的航程为$3168$ km。

1. 一轮船从甲地顺流驶往乙地,所用时间比从乙地逆流驶往甲地少1.5 h. 已知船在静水中的速度为18 km/h,水流速度为2 km/h,则甲、乙两地之间的距离为(B).
A.90 km
B.120 km
C.150 km
D.160 km

答案： 解：设甲、乙两地之间的距离为$x$km。
顺流速度为船在静水中速度与水流速度之和，即$18 + 2 = 20$km/h，顺流行驶时间为$\frac{x}{20}$h。
逆流速度为船在静水中速度与水流速度之差，即$18 - 2 = 16$km/h，逆流行驶时间为$\frac{x}{16}$h。
由题意，逆流时间比顺流时间多1.5h，可得方程：
$\frac{x}{16} - \frac{x}{20} = 1.5$
通分，得$\frac{5x - 4x}{80} = 1.5$
化简，$\frac{x}{80} = 1.5$
解得$x = 120$
答：甲、乙两地之间的距离为120km，选B。

2. 甲、乙两地相距350 km,一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出,3.5 h后相遇. 已知快车和慢车的速度比是3∶2,这两辆车的速度分别是多少？

答案： 解：设快车速度为3x km/h，慢车速度为2x km/h。
根据题意，得 (3x + 2x) × 3.5 = 350
5x × 3.5 = 350
17.5x = 350
x = 20
快车速度：3x = 3×20 = 60 km/h
慢车速度：2x = 2×20 = 40 km/h
答：快车速度为60 km/h，慢车速度为40 km/h。