《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

1. 绝对值
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,记作|a|.
2. 绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0,由此可得|a|≥0(比较大小).
用数学符号语言表示：
|a|$= \begin{cases} a, & a＞0, \\0, & a= 0, \\-a, & a＜0.\end{cases} $课堂探究

答案： 【解析】：
这道题主要考查了绝对值的定义和性质。绝对值是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作$|a|$。根据绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。由此可得$|a| \geq 0$。
【答案】：
1. 原点；$|a|$
2. 它本身；它的相反数；0；$\geq$
$|a| = \begin{cases} a, & a＞0, \\0, & a= 0, \\-a, & a＜0.\end{cases} $

【例1】写出下列各数的绝对值：
(1)-1.5；(2)$\frac{8}{3}$；(3)-6；(4)$-\frac{8}{3}$；(5)3.

答案： 解：
(1)$\vert -1.5\vert = 1.5$；
(2)$\left\vert \frac{8}{3}\right\vert = \frac{8}{3}$；
(3)$\vert -6\vert = 6$；
(4)$\left\vert -\frac{8}{3}\right\vert = \frac{8}{3}$；
(5)$\vert 3\vert = 3$。

【变式1】(1)若|x|= 2,则x=±2；若|x|= |-2.8|,则x=±2.8.
(2)若|m|= 6,且m＞0,则|m-3|=3.
(3)绝对值不大于3的整数有_____
(4)当3＜x＜5时，|x-3|+|x-5|=______

答案： 【解析】：
本题主要考查绝对值的定义和性质。
对于$|x| = a$（$a \geq 0$），$x$有两个可能的取值，即$x = a$或$x = -a$。
(1) 对于$|x| = 2$，根据绝对值的定义，可以得出$x = 2$或$x = -2$。
对于$|x| = |-2.8|$，首先计算$|-2.8| = 2.8$，所以$|x| = 2.8$，根据绝对值的定义，可以得出$x = 2.8$或$x = -2.8$。
(2) 对于$|m| = 6$，且已知$m ＞ 0$，根据绝对值的定义和已知条件，可以得出$m = 6$（因为$m$是正数，所以舍去$m = -6$这个解）。
然后计算$|m-3|$，代入$m = 6$，得到$|6-3| = |3| = 3$。
【答案】：
(1) $x = \pm 2$；$x = \pm 2.8$
(2) $3$
(3)0、±1、±2、±3
(4)2

【例2】化简下列各数：
(1)+|(-4)|=4；(2)-|-3|=-3；(3)|0|=0；(4)|-(+20)|=20.

答案： 【解析】：
本题考查的是绝对值的定义和性质。绝对值表示一个数到0的距离，因此它总是非负的。对于任意正数a，有|a|=a；对于任意负数b，有|b|=-b；对于0，有|0|=0。
(1) 对于+|(-4)|，首先计算内层的绝对值|-4|，由于-4是负数，所以|-4|=4，再加上外层的正号，结果仍为4。
(2) 对于-|-3|，首先计算内层的绝对值|-3|，由于-3是负数，所以|-3|=3，再加上外层的负号，结果为-3。
(3) 对于|0|，根据绝对值的定义，|0|=0。
(4) 对于|-(+20)|，首先解析内层的正负号，-(+20)=-20，再计算绝对值|-20|，由于-20是负数，所以|-20|=20。
【答案】：
(1) 4
(2) -3
(3) 0
(4) 20

【变式2】计算：
(1)|-3|×|6.2|；
(2)|-5|+|-2.49|；
(3)$\frac{11}{6}-\left| -\frac{3}{8} \right|$；
(4)$\left| -\frac{2}{3} \right| ÷ \left| \frac{14}{3} \right|$.

答案： 【解析】：
本题主要考查绝对值的基本运算规则以及有理数的乘、除、加、减运算。
对于每一小题，我们首先计算每个数的绝对值，然后根据题目要求进行相应的数学运算。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $|-3| × |6.2|$
= $3 × 6.2$
= $18.6$
(2) 解：
原式 = $|-5| + |-2.49|$
= $5 + 2.49$
= $7.49$
(3) 解：
原式 = $\frac{11}{6} - \left| -\frac{3}{8} \right|$
= $\frac{11}{6} - \frac{3}{8}$
= $\frac{44}{24} - \frac{9}{24}$
= $\frac{35}{24}$
或者可以简化为 $1\frac{11}{24}$
(4) 解：
原式 = $\left| -\frac{2}{3} \right| ÷ \left| \frac{14}{3} \right|$
= $\frac{2}{3} ÷ \frac{14}{3}$
= $\frac{2}{3} × \frac{3}{14}$
= $\frac{1}{7}$