《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

9. 若多项式 $ 2a^2 + 2kab $ 与 $ b^2 - 6ab $ 的和不含 $ ab $ 项,则 $ k= $______3.

答案： 解：根据题意，先求两个多项式的和：
$\begin{aligned}&(2a^2 + 2kab) + (b^2 - 6ab)\\=&2a^2 + 2kab + b^2 - 6ab\\=&2a^2 + b^2 + (2k - 6)ab\end{aligned}$
因为和不含$ab$项，所以$ab$项的系数为$0$，即：
$2k - 6 = 0$
解得：
$k = 3$
$3$

10. 已知 $ A= 2x^2 + 3xy + 2y - 1 $, $ B= x^2 - xy $.
(1)计算 $ A - 2B $;
(2)若 $ (x + 1)^2 + |y - 2|= 0 $,求 $ A - 2B $ 的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的加减运算以及代数式求值。
(1) 对于 $A - 2B$ 的计算，需要先将A和B的表达式代入，然后合并同类项。
(2) 对于 $ (x + 1)^2 + |y - 2| = 0 $，由于平方和绝对值都是非负的，所以要使上式成立，必须有 $ (x + 1)^2 = 0 $ 和 $ |y - 2| = 0 $，从而可以解出 $x$ 和 $y$ 的值，再代入 $A - 2B$ 的表达式求值。
【答案】：
(1) 解：
$A - 2B = 2x^{2} + 3xy + 2y - 1 - 2(x^{2} - xy)$
$= 2x^{2} + 3xy + 2y - 1 - 2x^{2} + 2xy$
$= 5xy + 2y - 1$
(2) 解：
由于 $ (x + 1)^2 + |y - 2| = 0 $，
考虑到平方和绝对值都是非负的，所以：
$ (x + 1)^2 = 0 $ 且 $ |y - 2| = 0 $，
从 $ (x + 1)^2 = 0 $ 可得 $ x = -1 $，
从 $ |y - 2| = 0 $ 可得 $ y = 2 $，
代入 $A - 2B$ 得：
$A - 2B = 5×(-1)×2 + 2×2 - 1 = -10 + 4 - 1 = -7$

11. 三个植树队,第一队植树 $ x $ 棵,第二队植树棵数比第一队植树棵数的2倍少26棵,第三队植树棵数比第二队植树棵数的一半多42棵,三个队一共植树多少棵?当 $ x= 100 $ 时,三个队共植树多少棵?

答案： 解：由题意得，第二队植树$(2x - 26)$棵，第三队植树$\frac{1}{2}(2x - 26)+42$棵。
三个队一共植树：
$\begin{aligned}&x+(2x - 26)+\left[\frac{1}{2}(2x - 26)+42\right]\\=&x + 2x - 26 + (x - 13 + 42)\\=&x + 2x - 26 + x + 29\\=&(x + 2x + x)+(-26 + 29)\\=&4x + 3\end{aligned}$
当$x = 100$时，$4x + 3=4×100 + 3=403$。
答：三个队一共植树$(4x + 3)$棵；当$x = 100$时，三个队共植树403棵。

12. (推理能力)例题:已知整式 $ A= a^3 + 3a^2 + 2b^2 + 5b - 2 $,整式 $ B= a^3 - a^2 + b^2 + 5b - 3 $,试比较 $ A $ 与 $ B $ 的大小.
解:比较 $ A $ 与 $ B $ 的大小,可以将两者作差,由差的正负性来判断两者的大小.
$ A - B= (a^3 + 3a^2 + 2b^2 + 5b - 2)-(a^3 - a^2 + b^2 + 5b - 3) $
$ =a^3 + 3a^2 + 2b^2 + 5b - 2 - a^3 + a^2 - b^2 - 5b + 3 $
$ =4a^2 + b^2 + 1 $.
因为 $ a^2 $, $ b^2 $ 是非负数,
所以 $ 4a^2 + b^2 $ 也是非负数.
所以 $ 4a^2 + b^2 + 1 ＞ 0 $.
所以 $ A - B ＞ 0 $.
所以 $ A ＞ B $.
仿照上述思路:试比较多项式 $ A= 4x^2 - 3x - 5y^2 - 6 $ 与多项式 $ B= 5x^2 - 3x + 2y^2 + 4 $ 的大小.

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的加减以及通过作差法比较两个整式的大小。
首先，我们将多项式$A$与多项式$B$进行作差，得到$A - B$。
然后，我们对$A - B$进行化简，判断其正负性。
最后，根据$A - B$的正负性，我们可以得出$A$与$B$的大小关系。
【答案】：
解：
$A - B $
$= (4x^2 - 3x - 5y^2 - 6) - (5x^2 - 3x + 2y^2 + 4)$
$= 4x^2 - 3x - 5y^2 - 6 - 5x^2 + 3x - 2y^2 - 4$
$= -x^2 - 7y^2 - 10$
因为$x^2$和$y^2$都是非负数，所以$-x^2$和$-7y^2$都是非正数，那么$-x^2 - 7y^2 - 10$也一定是负数。
所以，$A - B ＜ 0$，
即$A ＜ B$。