《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

4. 下列方程中,为一元一次方程的是(C).
A.$\frac{1}{x}-1= 2$
B.$x^2+3= x+2$
C.$-x-3= 4$
D.$2y-3x= 2$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程的定义。
一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
A选项：方程$\frac{1}{x}-1= 2$中，由于含有$\frac{1}{x}$这一项，它不是整式方程，因此不满足一元一次方程的定义。
B选项：方程$x^2+3= x+2$中，未知数$x$的最高次数为2，因此不满足一元一次方程的定义。
C选项：方程$-x-3= 4$只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为1，满足一元一次方程的定义。
D选项：方程$2y-3x= 2$含有两个未知数$x$和$y$，因此不满足一元一次方程的定义。
综上所述，只有C选项满足一元一次方程的定义。
【答案】：
C

5. 若方程$x^{n-2}-3= 5是关于x$的一元一次方程,则$n= $3.

答案： 解：因为方程$x^{n-2}-3=5$是关于$x$的一元一次方程，所以未知数$x$的次数为$1$，即$n - 2 = 1$，解得$n = 3$。
$3$

6. 小马虎在解关于$x的方程2a-5x= 21$时,误将“$-5x$”看成了“$+5x$”,得方程的解为$x= 3$,则原方程的解为$x=-3$.

答案： 解：因为小马虎误将“$-5x$”看成“$+5x$”，所以他解的方程为$2a + 5x = 21$。
把$x = 3$代入$2a + 5x = 21$，得$2a + 5×3 = 21$，
$2a + 15 = 21$，
$2a = 21 - 15$，
$2a = 6$，
$a = 3$。
所以原方程为$2×3 - 5x = 21$，即$6 - 5x = 21$，
$-5x = 21 - 6$，
$-5x = 15$，
$x = -3$。
原方程的解为$x = -3$。

7. 若$(m-1)x^{|m|}+5= 0是关于x$的一元一次方程.
(1)$m$的值为$-1$；
(2)请写出这个方程：$-2x + 5 = 0$；
(3)判断$x= 1,x= 2.5,x= 3$是否为方程的解.
$x = 1$不是方程的解；$x = 2.5$是方程的解；$x = 3$不是方程的解。

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程的定义及其解法。
(1) 根据一元一次方程的定义，方程中未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0。
所以，我们有：
$|m| = 1$
这意味着 $m = 1$ 或 $m = -1$。
但考虑到一次项系数 $m-1$ 不能为0，所以 $m \neq 1$。
因此，$m = -1$。
(2) 将 $m = -1$ 代入原方程，得到：
$-2x + 5 = 0$
(3) 将 $x = 1$，$x = 2.5$，$x = 3$ 分别代入方程 $-2x + 5 = 0$ 进行验证。
当 $x = 1$ 时，方程左边为 $-2(1) + 5 = 3$，右边为0，所以 $x = 1$ 不是方程的解。
当 $x = 2.5$ 时，方程左边为 $-2(2.5) + 5 = 0$，右边为0，所以 $x = 2.5$ 是方程的解。
当 $x = 3$ 时，方程左边为 $-2(3) + 5 = -1$，右边为0，所以 $x = 3$ 不是方程的解。
【答案】：
(1) $m = -1$
(2) 方程为：$-2x + 5 = 0$
(3) $x = 1$ 不是方程的解；$x = 2.5$ 是方程的解；$x = 3$ 不是方程的解。

8.(创新意识、运算能力)阅读下列材料：
关于$x的方程x^3+x= 1^3+1的解是x= 1$；
$x^3+x= 2^3+2的解是x= 2$；
$x^3+x= (-2)^3+(-2)的解是x= -2$.
根据以上材料,解答下列问题：
(1)观察上述方程以及解的特征,请你直接写出关于$x的方程x^3+x= 4^3+4$的解：$x=4$；
(2)猜想：关于$x的方程x^3+x= a^3+a$的解是$x=a$；
(3)请验证第(2)问的猜想；
解：将$x=a$代入方程左边，得左边$=a^3 + a$，右边$=a^3 + a$，左边=右边，所以$x=a$是方程$x^3 + x = a^3 + a$的解。
(4)利用第(2)问的结论,解关于$x的方程(x-1)^3+x= (a+1)^3+a+2$.
解：方程$(x - 1)^3 + x = (a + 1)^3 + a + 2$可变形为$(x - 1)^3 + (x - 1) = (a + 1)^3 + (a + 1)$，由(2)的结论得$x - 1 = a + 1$，解得$x = a + 2$。

答案：
(1) $x=4$
(2) $x=a$
(3) 解：将$x=a$代入方程左边，得左边$=a^3 + a$，右边$=a^3 + a$，左边=右边，所以$x=a$是方程$x^3 + x = a^3 + a$的解。
(4) 解：方程$(x - 1)^3 + x = (a + 1)^3 + a + 2$可变形为$(x - 1)^3 + (x - 1) = (a + 1)^3 + (a + 1)$，由
(2)的结论得$x - 1 = a + 1$，解得$x = a + 2$。