《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

【例1】在日常生活中,我们一拧水龙头,水就源源不断地流出来,可能丝毫感觉不到因浪费水而导致的危机.但事实上,我国是一个缺水国家,我们赖以生存的水,正日益短缺.节约用水,是我们每一个公民的基本素养之一.为鼓励居民节约用水,某市对居民用水收费实行“阶梯价”,2022年起年具体收费标准如下表(阶梯价的含义：年用水量不超过$144\ m^3$,每立方米收费$3.15$元,年用水量在$144～240\ m^3$,前$144\ m^3按3.15\ 元/m^3$收费,在$144～240\ m^3之间的用水量按4.05\ 元/m^3$收费,依此类推).

(1)设某户居民的年用水量为$t\ m^3$($t$是正整数),请你列表说明,当$t$在不同范围内取值时,如何计费？
(2)若小红家2023年全年用水量为$120\ m^3$,则小红家应缴水费______元.
(3)若小明家2023年缴水费441元,求小明家2023年全年用水量.(列方程解决问题)
(4)若小刚家2023年缴水费575.1元,求小刚家2023年全年用水量.(列方程解决问题)

答案： 【解析】：本题主要考察分段计费问题的理解和应用。
(1) 设每户每月用水量为$t$立方米，应缴水费为$y$元。根据题目条件，我们可以列出以下分段函数关系：当$0 \leq t \leq 200$时，$y = 1.9t$（基础水费）；当$t ＞ 200$时，$y = 2.85(t - 200) + 1.9 × 200$（超出部分加价水费）。
(2) 小红家2023年全年用水量为$120m^3$，由于$120 \leq 200$，所以应用基础水费公式计算：$y = 1.9 × 120 = 228$元。
(3) 小明家2023年缴水费441元，由于$441 ＞ 1.9 × 200 = 380$，所以小明家的用水量一定超过了200立方米。设小明家全年用水量为$x$立方米，则可以列出方程：$2.85(x - 200) + 1.9 × 200 = 441$解这个方程，我们得到：$2.85x - 570 + 380 = 441$$2.85x = 631$$x = 220$所以，小明家2023年全年用水量为220立方米。
(4) 小刚家2023年缴水费575.1元，由于$575.1 ＞ 1.9 × 200 = 380$，所以小刚家的用水量也超过了200立方米。设小刚家全年用水量为$a$立方米，则可以列出方程：$2.85(a - 200) + 1.9 × 200 = 575.1$解这个方程，我们得到：$2.85a - 570 + 380 = 575.1$$2.85a = 765.1$$a \approx 268.46$（结果保留两位小数）所以，小刚家2023年全年用水量约为268.46立方米。【答案】：
(1) 当$0 \leq t \leq 200$时，$y = 1.9t$；当$t ＞ 200$时，$y = 2.85(t - 200) + 380$。
(2) 228元。
(3) 小明家2023年全年用水量为220立方米。
(4) 小刚家2023年全年用水量约为268.46立方米。

【例2】实验与探究：小明学完一元一次方程后,用一根质地均匀60 cm长的木杆和一些等重的小物体,做如图(1)所示的实验：
①在木杆正中间处拴绳,将木杆吊起并使其左右平衡,吊绳处为木杆的支点；
②在木杆两端各悬挂一重物,看看左右是否保持平衡；
③小明在木杆左端小物体下加挂一重物,然后把这两个重物一起向右移动,直至左右平衡,记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；
④在木杆左端两小物体下继续加挂重物,并重复以上操作.
记录情况如下表所示.


(1)根据以上小明的记录你能发现什么规律？能否用语言进行表述？
(2)如图(2),在木杆右端挂一重物,支点左边挂$n$个重物,并使左右平衡.设木杆长为$l\ cm$,支点到木杆左边挂重物处的距离为$x\ cm$,把$n,l$作为已知数,列出关于$x$的一元一次方程.

答案： 【解析】：
(1) 通过观察小明的记录，我们可以发现杠杆平衡的规律，即力矩（力×力臂）的平衡原理。在这个问题中，当木杆达到平衡状态时，左边的力矩总和等于右边的力矩。这个规律可以用语言表述为：当木杆达到平衡时，各力对其支点的力矩之和为零，也就是说，动力×动力臂=阻力×阻力臂。
(2) 对于第二个问题，我们首先需要理解杠杆平衡的原理，然后利用这个原理来列出关于$x$的一元一次方程。设木杆右端挂的重物产生的力矩为$M_2$，支点左边每个重物产生的力矩为$M_1$，则有$n$个$M_1$（因为有$n$个重物），根据力矩平衡原理，我们有$nM_1 = M_2$。假设每个重物的重量都相同，那么力矩就与力臂的长度成正比，因此我们可以将这个关系转化为关于$x$的一元一次方程。设木杆右端挂的重物到支点的距离为$(l-x)$，则根据力矩平衡，我们可以列出方程：$n × x = (l - x) × 1$（这里假设每个重物的重量为1单位重量，因此力矩就等于力臂的长度）。简化后得到：$nx = l - x$，进一步整理得到：$(n+1)x = l$。【答案】：
(1) 能发现杠杆平衡的规律，即当木杆达到平衡状态时，左边的力矩总和等于右边的力矩。
(2) 关于$x$的一元一次方程为：$(n+1)x = l$。