《2025年云南省标准教辅优佳学案七年级数学上册人教版》

整式的加减运算法则
几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.

答案： 【解析】：
题目考查整式的加减运算法则。整式的加减运算中，如果遇到括号，需要先去括号，再合并同类项。
【答案】：
解：整式的加减运算法则中，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

【例1】(1)已知 $ A= 4x^2 - 4xy + y^2 $, $ B= x^2 + xy - 5y^2 $,求 $ A - 3B $;
(2)求 $ 10x^2 - 2x - 9 $ 与 $ 7x^2 - 6x + 12 $ 的差.

答案：
(1)解：因为$A = 4x^2 - 4xy + y^2$，$B = x^2 + xy - 5y^2$，所以$A - 3B=(4x^2 - 4xy + y^2)-3(x^2 + xy - 5y^2)$
$=4x^2 - 4xy + y^2 - 3x^2 - 3xy + 15y^2$
$=(4x^2 - 3x^2)+(-4xy - 3xy)+(y^2 + 15y^2)$
$=x^2 - 7xy + 16y^2$
(2)解：$(10x^2 - 2x - 9)-(7x^2 - 6x + 12)$
$=10x^2 - 2x - 9 - 7x^2 + 6x - 12$
$=(10x^2 - 7x^2)+(-2x + 6x)+(-9 - 12)$
$=3x^2 + 4x - 21$

【变式1】计算 $ -3(2a^2b - ab^2) - 2\left(\frac{1}{2}ab^2 - 2a^2b\right) $.

答案： 解：原式$=-6a^2b + 3ab^2 - ab^2 + 4a^2b$
$=(-6a^2b + 4a^2b) + (3ab^2 - ab^2)$
$=-2a^2b + 2ab^2$

【例2】[教材例题变式]做大、小长方体纸盒各一个,尺寸如下表(单位:cm)：

(1)做一个大纸盒比做一个小纸盒多用材料多少平方厘米?
(2)当 $ a= 10 $, $ b= 5 $, $ c= 2 $ 时,做这两个纸盒共用材料多少平方厘米?

答案： 【解析】：
本题考查知识点为整式的加减运算，涉及到长方体表面积的计算。
首先，需要计算出大纸盒和小纸盒的表面积，然后根据题目要求进行加减运算。
长方体的表面积计算公式为$S = 2×(长×宽+长×高+宽×高)$。
对于小纸盒，其长、宽、高分别为$2a$、$3b$、$c$，所以小纸盒的表面积为：
$S_{小} = 2×(2a×3b + 2a× c + 3b× c) = 12ab + 4ac + 6bc$。
对于大纸盒，其长、宽、高分别为$3a$、$4b$、$2c$，所以大纸盒的表面积为：
$S_{大} = 2×(3a×4b + 3a×2c + 4b×2c) = 24ab + 12ac + 16bc$。
接下来，根据题目要求进行计算。
（1）做一个大纸盒比做一个小纸盒多用材料多少平方厘米？
计算大纸盒表面积与小纸盒表面积的差：
$S_{大} - S_{小} = (24ab + 12ac + 16bc) - (12ab + 4ac + 6bc)$
$= 12ab + 8ac + 10bc$。
所以，做一个大纸盒比做一个小纸盒多用$(12ab + 8ac + 10bc)$平方厘米的材料。
（2）当$a = 10$，$b = 5$，$c = 2$时，做这两个纸盒共用材料多少平方厘米？
将$a$、$b$、$c$的值代入大纸盒和小纸盒的表面积公式中，得到：
$S_{小} = 12×10×5 + 4×10×2 + 6×5×2 = 600 + 80 + 60 = 740$。
$S_{大} = 24×10×5 + 12×10×2 + 16×5×2 = 1200 + 240 + 160 = 1600$。
两个纸盒共用的材料面积为：
$S_{总} = S_{小} + S_{大} = 740 + 1600 = 2340$。
所以，当$a = 10$，$b = 5$，$c = 2$时，做这两个纸盒共用材料$2340$平方厘米。
【答案】：
（1）$(12ab + 8ac + 10bc)$平方厘米；
（2）$2340$平方厘米。

如图,从边长为 $ (a+1) $ cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 $ (a-1) $ cm 的正方形 $ (a＞1) $,剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠,无缝隙),则长方形的长为(C).
A.2 cm
B.4a cm
C.2a cm
D.$ (2a - 2) $ cm

答案： 【解析】：
首先，计算大正方形的面积。大正方形的边长为$(a+1)cm$，所以面积为$(a+1)^2cm^2$。
接着，计算小正方形的面积。小正方形的边长为$(a-1)cm$，所以面积为$(a-1)^2cm^2$。
然后，计算剩余部分的面积。剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即$(a+1)^2 - (a-1)^2cm^2$。
利用平方差公式，我们可以将上式化简为：
$(a+1 + a-1)(a+1 - (a-1)) = 2a × 2 = 4a (cm^2)$，
接下来，考虑剩余部分被剪拼成一个长方形的情况。
由于长方形的面积是底与高的乘积，且题目中给出长方形的宽为$2cm$，设长方形的长为$x cm$，
则有：$2x = 4a$，
解得：$x = 2a$，即长方形的长为$2a cm$，也可以理解为两个正方形边长差的两倍，
即$[(a+1) - (a-1)] × 2 = 2a × 2 ÷ 2 = 2a (cm)$（因为拼成的长方形长是两个这样的差）。
【答案】：C. $2a cm$。